Consideremos la terminación profinita $\widehat{\Bbb Z}$ del grupo aditivo de $\Bbb Z$ .
¿Existe un morfismo de grupo suryente $s : \widehat{\Bbb Z} \to \Bbb Z$ ? Si es así, ¿podemos además suponer que $s \circ i = \rm{id}_{\Bbb Z}$ , donde $i : \Bbb Z \to \widehat{\Bbb Z}$ es la incrustación canónica?
Es evidente que no existe un mapa continuo $\widehat{\Bbb Z} \to \Bbb Z$ Si no es así $\Bbb Z$ sería compacto y discreto... ; así que $s$ no puede ser continua.
También me he dado cuenta de que no hay ningún morfismo de grupo suryectivo $\Bbb Z_p \to \Bbb Z$ (es decir $\Bbb Z$ no es un cociente del $p$ -enteros radicales), para cualquier primo $p$ ya que el primero es $q$ -divisible para cualquier primo $q \neq p$ mientras que el segundo no lo es.
Gracias.
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Supongo que ya has mirado/intentado utilizar $\hat{\Bbb Z} \simeq \prod \Bbb Z_p$ ?
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Estimado @TorstenSchoeneberg : gracias por su comentario. Sí, por eso mencioné la inexistencia de un morfismo suryectivo $\Bbb Z_p \to \Bbb Z$ . Definir morfismos a partir de productos (o límites proyectivos) es un poco complicado.
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(Por otro lado, hay muchos morfismos continuos $\hat{\Bbb Z} \to \Bbb C^{\times}$ - que deben pasar por el factor $S^1$ . De hecho, tenemos $\Bbb Q / \Bbb Z = \varinjlim_n (1/n \Bbb Z)/\Bbb Z$ y así $$\mathrm{Hom}_{\text{cont}}(\Bbb Q / \Bbb Z, S^1) = \varprojlim_n \mathrm{Hom}_{\text{cont}}((1/n \Bbb Z)/\Bbb Z, S^1) \cong \varprojlim_n \Bbb Z / n \Bbb Z = \hat{\Bbb Z},$$ y la dualidad de Pontryagin termina la prueba).