¿Por qué la secuencia de Fibonacci parece tener una teoría tan rica?

Question

Escoge cuatro enteros $a,b,c$$d$. Entonces tenemos una secuencia correspondiente a dado por $$t_{n+2} = at_{n+1} +bt_n, \; t_1 = c, \;t_2 = d.$$

Por lo que puedo ver, parece que nos dan una especialmente ricos en teoría cuando elegimos $a=1,b=1,c=1,d=1$, con lo que la obtención de la secuencia de Fibonacci. Basta con echar un vistazo a la correspondiente página de la wikipedia; es simplemente enorme, y lleno de aspecto interesante de las identidades y de las conexiones.

Pregunta. ¿Por qué es esto? ¿Cuál es acerca de estos cuatro números que le da una rica teoría de la secuencia correspondiente?

Una buena respuesta debe:

• Explique que la mayoría de los resultados acerca de la secuencia de Fibonacci tienen análogos que trabajar para cualquier $a,b,c$ $d$ satisfacer algunas débiles condiciones, así que en realidad la secuencia de Fibonacci no es muy especial, o:

• Especificar una muy fuerte restricción en la relación entre el $a,b,c$ $d$ y explicar por qué esta restricción hace que esta secuencia en particular y los (pocos) a otros les gusta tener una muy rica la teoría.

Answer 1

En cálculo y las ecuaciones diferenciales, las funciones más importantes son aquellos que son sus propios derivados: $e^x, \sin x, \cosh x,$ etc. La más fundamental es $e^x$, y la de los demás, puede ser expresado en términos de la misma. Satisface la ecuación de $y' = y.$

La secuencia de Fibonacci es su propia diferencia de la secuencia. (Anotar la secuencia y, a continuación, escribir las diferencias entre cada par de términos sucesivos, y vas a conseguir otra copia de la secuencia de Fibonacci.) Por lo que satisface la ecuación de $F = \Delta F.$ Así que no es una sorpresa que las soluciones a ecuaciones de diferencia puede ser expresada en términos de la secuencia de Fibonacci. Su definición recursiva que implican $a,b, c$ $d$ es realmente una diferencia ecuación, como es la definición de la Tribonacci secuencia y otros más generales de las cosas.