Derivación de la velocidad de propagación de un cambio en el campo electromagnético a partir de las ecuaciones de Maxwell

Question

Me han dicho que, a partir de las ecuaciones de Maxwell, se puede encontrar que la propagación del cambio en el Campo Electromagnético viaja a una velocidad $\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ (cuyos valores pueden hallarse empíricamente y, al introducirlos en la expresión, se obtiene la velocidad de la luz hallada empíricamente)

Realmente no estoy seguro de cómo podría ir a buscar $v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ simplemente de las ecuaciones de Maxwell en la siguiente forma, en unidades del SI --

$$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\epsilon_0}$$

$$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$

$$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$$

$$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \left( \mathbf{J} + \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} \right)$$

¿Es cierto lo que creo? (que la velocidad de propagación es derivable de las ecuaciones de Maxwell)

Si no es así, ¿qué más se necesita?

Si es así, ¿puede proporcionar una derivación clara y convincente?

Answer 1

Aunque se trata de una derivación estándar, con frecuencia no se ve en los cursos de introducción al electromagnetismo, quizá porque esos cursos evitan el uso intensivo del cálculo vectorial. Este es el enfoque habitual. Encontraremos una ecuación de onda de las ecuaciones de Maxwell.

Comienza con

$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$ .

Toma una derivada parcial de ambos lados con respecto al tiempo. El operador de rizo no tiene parcial con respecto al tiempo, por lo que esto se convierte en

$\nabla \times \frac{\partial\vec{E}}{\partial t} = -\frac{\partial^2\vec{B}}{\partial t^2}$ .

Hay otra de las ecuaciones de Maxwell que nos habla de $\partial\vec{E}/\partial t$ .

$\nabla \times \vec{B} = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

Resuelve esto para $\partial\vec{E}/\partial t$ y lo introducimos en la expresión anterior para obtener

$\nabla \times \frac{(\nabla \times \vec{B})}{\mu_0\epsilon_0} = -\frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}$

el rizo de identidad de rizo nos permite reescribir esto como

$\frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}\left(\nabla(\nabla \cdot \vec{B}) - \nabla^2\vec{B}\right) = -\frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}$

Pero la divergencia del campo magnético es cero, así que elimina ese término, y reordena para

$\frac{-1}{\mu_0 \epsilon_0}\nabla^2\vec{B} + \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} = 0$

Esta es la ecuación de onda que buscamos. Una solución es

$\vec{B} = B_0 e^{i (\vec{x}\cdot\vec{k} - \omega t) }$ .

Esto representa una onda plana que viaja en la dirección del vector $\vec{k}$ con frecuencia $\omega$ y la velocidad de fase $v = \omega/|\vec{k}|$ . Para que sea una solución, esta ecuación debe tener

$\frac{\omega^2}{k^2} = \frac{1}{\mu_0\epsilon_0}$ .

O bien, establecer $v = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$

$\frac{\omega}{k} = v$

Esto se denomina relación de dispersión . La velocidad a la que viajan las señales electromagnéticas viene dada por la velocidad del grupo

$\frac{d\omega}{d k} = v$

Así que las señales electromagnéticas en el vacío viajan a una velocidad $c = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$ .

Editar Puedes seguir los mismos pasos para derivar la ecuación de onda para $\vec{E}$ pero tendrás que asumir que estás en el espacio libre, es decir $\rho = 0$ .

Editar El rizo de la identidad del rizo estaba mal, hay un número negativo ahí

Answer 2

La respuesta de Mark es correcta, pero es demasiado larga y esconde el remate. Así que permíteme mostrar una derivación más corta usando matemáticas más avanzadas. Aunque no demasiado avanzada, sólo el formalismo tensorial en El espacio-tiempo de Minkowski para la relatividad especial y formas diferenciales . Todo esto lo necesitarás antes o después, así que debería ser útil aprender (al menos un poco) sobre ello ya. Esta respuesta sería sólo unas pocas líneas si ya conocieras el formalismo, pero será un poco más larga porque intentaré enseñarte también sobre el formalismo.

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Probablemente sepa que Transformaciones de Lorentz mezcla $\mathbf E$ y $\mathbf B$ . Así que no son realmente independientes y resulta que son sólo una parte del tensor antisimétrico de rango 2 de 4 dimensiones (esto significa realmente $4 \times 4$ matriz antisimétrica) $\mathbf F$ . Ahora bien, debería estar al menos dimensionalmente claro que dicha matriz tiene 6 componentes independientes que coinciden precisamente con 3+3 grados de libertad de $\mathbf E$ y $\mathbf B$ .

También debería saber que ambos $\mathbf E$ y $\mathbf B$ puede expresarse en términos de potenciales. En nuestro formalismo se traduce en ${\mathbf F} = {\rm d} {\mathbf A}$ donde ${\rm d}$ es el derivado exterior $\mathbf A$ es el cuatro potencial que combina el escalar $\phi$ y tres vectores $\mathbf A$ potenciales que ya deberías conocer y amar.

Ahora resulta que las ecuaciones de Maxwell en el vacío tienen una forma realmente sencilla en este formalismo $${\rm d}{\mathbf F} = 0$$ $${\rm \delta}{\mathbf F} = 0$$ con $\delta$ siendo el codiferencial que es dual con $\rm d$ . La primera ecuación nos dice, en realidad, que existe el cuatro-potencial (porque ${\rm d}^2 = 0)$ y la segunda es la ecuación evolutiva real que contendría cuatro corrientes $\mathbf j$ si no estuviéramos en el vacío. Ahora bien, siempre que tengamos una solución a estas ecuaciones, también resolverán $$\square {\mathbf F} = ({\rm d\delta + \delta d}) {\mathbf F} = 0$$ Pero este $\square$ es precisamente operador de onda de d'Alembert y así de hecho $\mathbf F$ se propaga a la velocidad de la luz.

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Referencia: Artículo de Wikipedia en el formalismo covariante o de cuatro vectores

Answer 3

Comienza tomando el rizo de la tercera ecuación de Maxwell (para el vacío), y sustituyendo $\vec{B}=\mu_0\vec{H}$ se puede obtener,

$$ \nabla^2.\vec{E} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \vec{E} $$

De forma similar, tomando el rizo de la cuarta ecuación de Maxwell, sustituyendo

$$ \nabla\times\vec{E} = -\frac{\partial}{\partial t}\mu_0\vec{H} $$

se puede obtener

$$ \nabla^2.\vec{H} = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \vec{H} $$

La solución de las dos ecuaciones es de la forma

$$ E = E_o e^{\iota(\omega t + \beta z)}\ \ \ \ ;\ \ \ \ H = H_oe^{\iota(\omega t+\beta z)} $$

Tomando la doble derivada temporal de estos resultados se obtiene

$$ \frac{\partial}{\partial t} = \iota\omega\ \ \ \ ;\ \ \ \ \frac{\partial^2}{\partial t^2}=-\omega^2 $$

Si introducimos estos resultados en nuestro $\nabla^2$ ecuaciones, obtendremos la ecuación de Helmholtz para $\vec{E}$ y $\vec{H}$ como

$$ (\nabla^2 + \omega^2 \mu_0 \epsilon_0)\vec{E} = 0 = (\nabla^2 + \omega^2 \mu_0 \epsilon_0)\vec{H} $$

Aquí la expresión $\omega^2 \mu_0 \epsilon_0 = \beta^2$ que es el número de onda. Al resolver esta expresión podemos obtener la ecuación mencionada.

$$ \frac{\omega}{\beta} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} $$

También, $\omega = 2\pi f$ y $\beta = 2\pi/\lambda$ lo que nos lleva a la ecuación deseada,

$$ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_o \epsilon_0}} $$

Desde entonces, $mu_0 = 4\pi\times10^{-7}$ H/m y $\epsilon_0 \approx 8.85\times10^{-12}$ F/m esta ecuación da como resultado $ c = 299 792 458$ m/s