Si una extensión es localmente Galois, ¿es Galois?

Question

Considere la posibilidad de una extensión de los campos de número de $L/K$. Básicamente, mi pregunta es saber si esta extensión tiene una propiedad dada, si asumimos que las terminaciones en todos finito lugares de la extensión tienen la misma propiedad. Más precisamente,

Suponga que para casi todos los finita prime $p$$K$, hay un número finito de primos $P$ $L$ sobre $p$, de tal manera que $L_P / K_p$ es de Galois. De lo anterior se sigue que el $L/K$ es de Galois?

Uno podría hacer dos variaciones:

1. Hacer más fuerte la hipótesis de que para todos los prime $p$ $K$ y cualquier prime $P$ sobre $p$, la extensión de los campos locales $L_P / K_p$ es de Galois.

2. Reemplazar "Galois" por "abelian", tanto en la hipótesis y la conclusión.

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Algunas ideas:

1. Recordemos que el conversar sostiene: si $L/K$ es de Galois, entonces también lo es cualquier terminación.

2. Podemos escribir $L = K(a)$ algunos $a \in L$. Entonces yo creo que para cualquier prime $p$$K$, $P \mid p$ tal que $L_P = K_p(a)$ (considere el polinomio mínimo $f$$a$$K$, $a$ es una raíz de algunos irreductible factor de $f$$K_p[T]$, y tenemos $L \otimes_K K_p \cong K_p[T]/(f) \cong \prod\limits_{P \mid p} L_P$).

   Pero en general, $K_p(a) \cap \overline{K}$ estrictamente contiene $K(a)$, por lo que si tomamos cualquier $\sigma : L = K(a) \to \overline{K}$ y tratar de extenderlo a $K_p(a)$ con el fin de utilizar la asunción, estamos estancados.

3. No podemos considerar la variación de "reemplazar Galois por solucionable". De hecho, cualquier finito extensión de los campos de la región es solucionable, si bien hay $S_5$-extensiones de campos de número.

4. Para la variación 2., si suponemos además que $L/K$ es de Galois (no necesariamente abelian), la pregunta es sólo para deducir o no se que $\mathrm{Gal}(L/K)$ es abelian, sabiendo que todos la descomposición subgrupos $D(P \mid p)$ son abelian.

Answer 1

Cada finito unramified extensión de campos locales es Galois y cíclico (el grupo de Galois es isomorfo al grupo de Galois de la extensión del campo de residuo, que es una extensión de campos finitos). Así $L_P/K_p$ es cíclico cuando $P$ es unramified. Todos sino finito muchos primos son unramified, así que incluso si asumimos que el $L_P/K_p$ es cíclico para todos sino finito muchos $P$, no podemos concluir nada acerca de la extensión $L/K$.