Una integral que implica la función de Bessel del primer tipo del género Sonine-Gegenbauer

Question

¿Sabes cómo hacer esto integral? $$\int\limits_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\phi\,\frac{J_2\left(\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos(\phi)}\right)}{a^2+b^2-2ab\cos(\phi)}\,,$ $ donde$J_2$ es la función de Bessel del primer tipo de segundo orden, y a y b son dos constantes positivas.

He intentado varios trucos diferentes: utilizando la representación integral de la función de Bessel, la expansión en serie de la función de Bessel o convirtiendo la integral en integral integral sobre el círculo unitario, pero no pude simplificar los resultados que obtuve después.

Gracias.

Answer 1

Para cualquier$x>0$ tenemos$$ \frac{J_2(\sqrt{x})}{x}=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n x^n}{4^{n+1}n!(n+2)!} $ $ y$$ \int_{0}^{2\pi}(a^2+b^2-2ab\cos\phi)^n\,d\phi = -i\oint_{|z|=1}(a-bz)^n(a-b/z)^n\frac{dz}{z}$ $ por el teorema de residuos, es igual$$ 2\pi \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2 a^{2k} b^{2n-2k} $ $, por lo que la integral dada se puede representar como$$ 2\pi\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n b^{2n}}{4^{n+1}n!(n+2)!}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2 \left(\frac{a}{b}\right)^{2k}$ $ o como $$\frac{\pi}{2}\sum_{m,n\ge 0}\frac{(-1)^m a^{2m} (-1)^n b^{2n}}{4^m m!^2 4^n n!^2}\cdot\frac{1}{(m+n+2)(m+n+1)} $ $$$=\frac{\pi}{2}\sum_{m,n\ge 0}\frac{(-1)^m a^{2m} (-1)^n b^{2n}}{4^m m!^2 4^n n!^2}\int_{0}^{1}z^{m+n}(1-z)\,dz $ $ o como$$\frac{\pi}{2}\int_{0}^{1}J_0(a\sqrt{z})J_0(b\sqrt{z})(1-z)\,dz = \pi\int_{0}^{1}J_0(az)J_0(bz)z(1-z^2)\,dz$ $ Necesito un poco de tiempo para verificar si esto se puede simplificar aún más; en cualquier caso, la aproximación numérica de las integrales involucradas es simple explotando la serie de Taylor de$J_0$ o$J_2$ cerca del origen y$J_0(z)\approx \frac{\sin(z)+\cos(z)}{\sqrt{\pi z}}$ de Tricomi lejos del origen.

Answer 2

Desde el Gegenbauer además teorema: \begin{equation} \frac{J_{2}\left(w\right)}{w^{2}}=4 \sum_{k=0}^{\infty}(2+k)\frac{J_{2+k}\left(a\right)}{a^{2}}% \frac{J_{2+k}\left(b\right)}{b^{2}}C^{(2)}_{k}\left(\cos\varphi\right) \end{equation} donde \begin{equation} w=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos\varphi} \end{equation} y donde $C^{(2)}_{k}\left(\cos\varphi\right)$ es un Gegenbauer (o ultraspherical) polinomio. A continuación, \begin{align} I&=\int\limits_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi\,\frac{J_2\left(\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos(\varphi)}\right)}{a^2+b^2-2ab\cos(\varphi)}\\ &=4 \sum_{k=0}^{\infty}(2+k)\frac{J_{2+k}\left(a\right)}{a^{2}}% \frac{J_{2+k}\left(b\right)}{b^{2}}\int\limits_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi C^{(2)}_{k}\left(\cos\varphi\right) \end{align} A partir de la representaciónDLMF \begin{equation} C^{(2)}_{k}\left(\cos\varphi\right)=\sum_{\ell=0}^{k}\frac{{\left(2 \right)_{\ell}}{\left(2\right)_{k-\ell}}}{\ell!\;(k-\ell)!}\cos\left((k-% 2\ell)\varphi\right) \end{equation} el único no-fuga integral de términos en la suma corresponden a $k=2\ell$, $k$ es un número par: $k=2p$ \begin{equation} \int\limits_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi C^{(2)}_{2p}\left(\cos\varphi\right)=2\pi\left( p+1 \right)^2 \end{equation} y así \begin{equation} I=\frac{16\pi}{a^2b^2} \sum_{p=1}^{\infty}p^3J_{2p}\left(a\right)J_{2p}\left(b\right) \end{equation}

Answer 3

Aquí hay uno que está cerca:

De "Tabla de integrales, series y productos" por IS Gradshteyn e IM Ryzhik, sección 6.684, página 726.

$$ \ int_0 ^ {\ pi} (\ sin x) ^ {2v} \ dfrac {J_v (\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2-2ab \ cos x})} {(\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2-2ab \ cos x}) ^ {v}} dx = 2 ^ v \ sqrt {\ pi} \ Gamma (v + \ frac12) \ dfrac {J_v (a)} {a ^ v} \ dfrac {J_v (b)} {b ^ v} \ quad [Re \ v> - \ frac12] $$

Answer 4

Demasiado largo para un comentario, pero no una respuesta. P. Enta y el OP dicen que han reducido la integral a algunos de los factores de la multiplicación de $$ \sum_{m=1}^\infty m^3 J_{2m}(a)\,J_{2m}(b).$$ De la forma deseada de 'una suma de un par de funciones de Bessel" yo creo que es imposible, y he aquí por qué: El Graf además de la fórmula para las funciones de Bessel puede ser por escrito, para la función de Bessel índice $\nu=0$ $$J_0\Big(\sqrt{a^2+b^2-2a\,b\,\cos(t)}\Big)= J_{0}(a)\,J_{0}(b) + 2 \sum_{m=1}^\infty J_{m}(a)\,J_{m}(b) \cos{(m\,t)}.$$ Diferenciar este un número par de veces y obtendrás $\pm \,m^{2k} \cos{(m\,t)}$ dentro de la suma en el lado derecho (RHS). Usted puede obtener el índice de duplicar tomando $t=0$ $t=\pi$ y la adición de los resultados, ya que la $\cos(0) + \cos(\pi\,m)=2(1+(-1)^m).$ La LHS, obviamente, será una suma finita de funciones de Bessel. Este truco no funciona para impar-derivadas de orden ya que en la RHS tendrás $\pm \,m^{2k+1} \sin{(m\,t)}.$ Usted no puede encontrar una combinación lineal de $t$ que le da $(1+(-1)^m)$ con la función sinusoidal.