Polinomio característico de la matriz con ceros en la diagonal y en otras partes

Question

Hallar el polinomio característico de la matriz con ceros en la diagonal y en otros lugares.

He sido capaz de (creo) que adivinar lo que parece (considerando las matrices de las pequeñas órdenes): $(x-n+1)(x-1)^{n-1}$. Supongo que debería demostrarlo por inducción. Pero no sé cómo obtener el polinomio característico de una matriz de orden $n+1$ a partir de una matriz de orden $n$ (es decir, cómo hacer el paso inductivo).

Otros métodos de solución también son bienvenidos. (Es posible el uso en la reducción de la fila?)

Answer 1

Deje$M$ ser la matriz en cuestión. Entonces$M=J-I$ donde$J$ es la matriz de todos. Entonces$$\chi_M(t)=\det(tI-M)=\det(tI+I-J)=\chi_J(t+1).$ $ Solo necesitamos calcular el polinomio característico de$J$, pero$J^2=nJ$, por lo que los valores propios de$J$ están en el conjunto$\{0,n\}$. La traza de$J$ es$n$, de modo que un valor propio de$J$ es$n$ y el otro$n-1$ son todos cero. Es decir, $\chi_J(t)=t^{n-1}(t-n)$. Entonces$$\chi_M(t)=(t+1)^{n-1}(t-n+1).$ $

Answer 2

Deje que la matriz de $A$. Es mucho más fácil encontrar el polinomio característico de a $B=A+I$, la matriz que es todo lo $1$s: podemos hacer esto mediante la búsqueda de los vectores propios, que nos dará los valores propios. Entonces los autovalores de a $A$ acaba de ser los de $B$$-1$, ya que el $Bx=\lambda x \iff Ax = (\lambda-1)x$.

Entonces, ¿qué son los vectores propios de a $B$? Es tan simétrica que es fácil escribir un poco abajo: el vector que es todo lo $1$s tiene un autovalor $n$, mientras que cualquier vector cuyos componentes se suma a cero es un autovector con autovalor $0$. Hay, al menos, $n-1$ de estos, ya que $e_1-e_i$ $2 \leq i \leq n$ es un subconjunto linealmente independiente de la subespacio propio. Por lo tanto $0$ es un autovalor con la multiplicidad, al menos,$n-1$, pero sabemos que el otro autovalor ya, así que esto es todo. Por lo tanto el polinomio característico es $(t-n)t^{n-1}$.

Volviendo a $A$, nos encontramos con que esto le da el polinomio característico de a$A$$(t-n+1)(t+1)^{n-1}$.