¿Está aumentando cada norma?

Question

Sea $N$ cualquier norma en $\Bbb R^n$. ¿Lo cierto es que si $0 \leq a_i \leq b_i$ $1 \leq i \leq n$, entonces el $N(a_1, \ldots, a_n) \leq N(b_1, \ldots, b_n)$? Claramente esto es cierto para el % de normas $| \cdot |_p$donde $1 \leq p \leq \infty$, se define como una composición de aumentar las funciones. Cualquier dos normas son equivalentes, pero no veo cómo mi propiedad se preserva en la equivalencia.

Answer 1

La respuesta es no.

Considere la norma$\|(x,y)\| = |x| + |x-y|$ en$\mathbb{R}^2$.

Tenemos$(1,0) \le (1,1)$ en el sentido que usted definió, pero

ps

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Hay un teorema no trivial que caracteriza esta propiedad:

Deje$$\|(1,0)\| = 2, \quad \|(1,1)\| = 1$ser una norma en$\|\cdot\|$. Lo siguiente es equivalente:

• $\mathbb{C}^n$ implica que $|x_i| \le |y_i|, \forall i=1, \ldots, n$.
• $\|(x_1, \ldots, x_n)\| \le \|(y_1, \ldots, y_n)\|$.