Sea $N$ cualquier norma en $\Bbb R^n$. ¿Lo cierto es que si $0 \leq a_i \leq b_i$ $1 \leq i \leq n$, entonces el $N(a_1, \ldots, a_n) \leq N(b_1, \ldots, b_n)$? Claramente esto es cierto para el % de normas $| \cdot |_p$donde $1 \leq p \leq \infty$, se define como una composición de aumentar las funciones. Cualquier dos normas son equivalentes, pero no veo cómo mi propiedad se preserva en la equivalencia.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La respuesta es no.
Considere la norma$\|(x,y)\| = |x| + |x-y|$ en$\mathbb{R}^2$.
Tenemos$(1,0) \le (1,1)$ en el sentido que usted definió, pero
ps
Hay un teorema no trivial que caracteriza esta propiedad:
Deje$$\|(1,0)\| = 2, \quad \|(1,1)\| = 1$ ser una norma en$\|\cdot\|$. Lo siguiente es equivalente:
- $\mathbb{C}^n$ implica que $|x_i| \le |y_i|, \forall i=1, \ldots, n$.
- $\|(x_1, \ldots, x_n)\| \le \|(y_1, \ldots, y_n)\|$.
