¿Sacudir una botella de agua aumenta la temperatura del agua en su interior?

Question

Si estoy en un lugar frío, ¿puedo calentar una botella de agua simplemente agitándola continuamente?

Si es así, ¿cuánto tiempo aproximadamente tomaría, es decir, es físicamente posible o solo teóricamente?

Answer 1

Supongamos que te sacudes desde cada lado a una tasa de $f$ de, digamos, cuatro veces por segundo, alcanzando $\Delta v/2=5\ \mathrm{mph}$ $\simeq$ 8 kph antes de cambiar de dirección, y que alguna fracción de la energía $\beta$ que das a cada cambio se convierte en calor que es absorbido por el agua, y que ninguna se irradia hacia afuera.

El valor de $\beta$ cambiará según lo lleno que esté la botella. Si la botella está llena al 100%, entonces no habrá movimientos internos para que la viscosidad convierta la energía en calor, y $\beta\simeq0$.

Para comprender esta situación (el caso de la botella llena con $\beta\simeq0$), se podría "calentar" el agua poniendo la botella en un oscilador armónico simple (con un resorte) y se movería de un lado a otro sin calentar el agua y sin ningún gasto de energía. Por conservación de la energía, no se puede añadir calor al agua.

Continuando, el cambio deseado en la energía es

$$\Delta E=M_\text{water}C_V\Delta T,$$

donde $M_\text{water}$ es la masa del agua, $C_V$ es la capacidad calorífica del agua y $T$ es la temperatura, con $\Delta$ denotando cambios.

Mientras tanto, el calor total suministrado será

$$\Delta E=N \beta {1 \over 2}M_\text{water}{\Delta v}^2,$

donde $N$ es el número de sacudidas en una dirección.

Resolviendo para $N$, obtenemos

$$N={2C_V\Delta T \over {\beta \Delta v}^2}.$$

El tiempo total que tomará será

$$T={N\over f}={2C_V\Delta T \over \beta f{\Delta v}^2}.$$

Si cálido es $100\ \mathrm{^\circ F}\simeq38\ \mathrm{^\circ C}$ y frío es $32\ \mathrm{^\circ F}=0\mathrm{^\circ C} $, $\Delta T\simeq68\ \mathrm{^\circ F}\simeq38\ \mathrm{^\circ C}$. 5 mph $\simeq$ 2.2 m/s. Entonces, si $\beta=0.5$,

$$T={2\times 4184\ \mathrm{\frac{J}{kg\ K}} 38\ \mathrm K \over 0.5 \times 4\ \mathrm s^{-1} \times \left(2\times2.2\ \mathrm{m\over s}\right)^2}=8212\rm \space segundos\simeq 2 \space horas \space 16 \space minutos.$$

Esto no tiene en cuenta las pérdidas radiativas durante ese tiempo, aunque eso no será demasiado importante a menos que quieras hacer té. De hecho, si quisieras agua hirviendo para ese propósito, podrías haber preparado ese té en unos pocos minutos agitando (sin cambiar mucho la temperatura) porque el movimiento aumentará drásticamente la tasa efectiva de difusión de líquido a través de las hojas de té en comparación con agua estancada.

Me gustaría agradecer a Loong por las correcciones de sintaxis y también a Ujjwal Barman por hacer una pregunta que me hizo querer incluir un factor $\beta$, ya que la respuesta original no tenía ninguno y me molestaría que alguien sacudiera una botella llena durante horas solo para llevarse una decepción.

Answer 2

Una botella cerrada en un extremo con un tapón en el otro extremo tiene algo de agua en su interior.

El tapón tiene un termómetro pasando a través de él para medir la temperatura del agua.

La botella, inicialmente en posición vertical, es invertida repetidamente.

Con ninguna pérdida de calor, puedes igualar la pérdida de energía potencial gravitatoria a la ganancia de energía térmica.

$$mg\Delta h N = mC\Delta \theta$$

donde $m$ es la masa de una pequeña cantidad de agua en la botella de longitud $\Delta h$ que se invierte $N$ veces, $g$ es la fuerza de campo gravitatorio, $C$ es la capacidad calorífica del agua y $\Delta \theta$ es el aumento de temperatura.

$$\Rightarrow \Delta \theta = \dfrac{9.8 \times 0.3}{4200} N = 0.0007 \, N$$

para una botella de longitud $0.3\,\rm m$

Entonces aproximadamente $1400$ inversiones deberían aumentar la temperatura en $1\, ^\circ \rm C$.

La pérdida de calor y la capacidad térmica de la botella significarán que se necesitarán muchas más inversiones.
También se debe aislar la botella para que el proceso de inversión usando las manos no caliente el agua.

Entonces que sean $3 \times 1400 = 4200$ inversiones.

Una inversión cada segundo da un tiempo de aproximadamente $70$ minutos para ganar $1\, ^\circ \rm C$, por lo que quizás debería ser un aumento de temperatura de $0.2\, ^\circ \rm C$ y un tiempo más razonable de aproximadamente $15$ minutos.

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Actualización después de hacer dos experimentos

El primer experimento que intenté fue usar perdigones de plomo en un tubo de longitud $0.77 \,\rm m$ con algunos perdigones de plomo en su interior.
Medí la temperatura inicial de los perdigones de plomo $(24.3 \rm ^\circ C)$ y la temperatura final después de $100$ inversiones $(25.2 \rm ^\circ C)$.
Suponiendo ninguna pérdida de calor, conversión del 100% de energía potencial gravitatoria en calor, etc. esto da una inesperada capacidad calorífica específica del plomo de aproximadamente $800\, \rm J\,kg^{-1}\,K^{-1}$.
Inesperado porque el valor documentado para la capacidad calorífica específica del plomo es de $160\, \rm J\,kg^{-1}\,K^{-1}$ pero también porque un informe encontrado por @JasonArthurTaylor utilizando el mismo método encontró que la capacidad calorífica específica del plomo era aproximadamente de $800\, \rm J\,kg^{-1}\,K^{-1}.
Esto parece indicar que aunque el método muestra un aumento de temperatura, dicho aumento está muy por debajo del valor predicho utilizando una teoría simple.

Aunque el resultado del primer experimento fue inesperado, no tuve tiempo de repetirlo porque quería abordar la pregunta planteada por el OP sobre una botella de agua.

En una botella de plástico de $2$ litros se añadió aproximadamente $200\,\rm cm^3$ de agua y se utilizó un termómetro con graduaciones de $0.1^\circ\rm C$ para medir la temperatura del agua en intervalos de un minuto.
La botella fue agitada a una velocidad de aproximadamente $170$ agitaciones por minuto sobre una distancia de aproximadamente $15\,\rm cm$.
Todo lo que quería averiguar es el orden de magnitud del aumento de temperatura.

La temperatura del agua antes de que comenzara la agitación fue de $23.8 ^\circ \rm C$ y la temperatura del agua en intervalos de un minuto hasta $5$ minutos fue de $24.0 ^\circ \rm C$, $24.4 ^\circ \rm C$, $24.6 ^\circ \rm C$, $24.9^\circ \rm C$ y $25.1 ^\circ \rm C.

Así que esta es una buena evidencia de que agitar una botella de agua aumenta la temperatura del agua en su interior.