En lo que sigue me he limitado a los libros que utilicé realmente en su momento (nada posterior a 1991 o 1992), por lo que no se incluye nada que haya aparecido después.
Tuve un curso de un semestre de Royden (cubrí la mayor parte del libro --- fue un curso bastante rápido), un curso de un semestre de Taylor's Teoría general de funciones e integración (que cubría el tercio medio del libro, en una universidad diferente), y un curso de dos semestres en el que se utilizó el libro de Wheeden/Zygmund Medida e integral que fue enseñado por Torchinsky (6 años antes de que apareciera su libro de 1988, pero se incluyó mucho de lo que hay en su libro, en particular todo el material sobre números cardinales y ordinales y tipos de orden). Pero se trata de textos introductorios en los que se basan los exámenes de acceso al doctorado y, por supuesto, yo y casi todo el mundo también estábamos familiarizados con otros libros, en mi caso probablemente los más significativos fueron (en orden de cuánto estudié el libro) Teoría de la medida por Halmos, Análisis real y abstracto por Hewitt/Stromberg, Teoría de la medida por Cohn, y Integración por McShane. También, Análisis real y complejo de Rudin (primer tercio del libro) se recomendaba a menudo, y muchos estudiantes lo utilizaban para preparar el examen de acceso al doctorado, pero por alguna razón yo nunca le presté demasiada atención, y de hecho no fue hasta hace 4 o 5 años cuando por fin me hice con un ejemplar del libro de Rudin (lo vi en una librería de segunda mano).
Por si sirve de algo, un par de libros que recuerdo que me recomendaban muy a menudo eran (siendo esto de finales de los 70 a principios de los 80) Análisis funcional de Riesz/Sz.-Nagy (primer tercio del libro, los tres capítulos que tratan de la integración) y Operadores lineales. Parte I. Teoría general de Dunford/Schwartz (también el primer tercio del libro, que son también los tres capítulos que tratan de la integración), pero nunca acabé de fijarme mucho en ellos. Sin embargo, mirando estos dos libros ahora mismo, creo que el primer tercio de Riesz/Sz.-Nagy sería un buen proyecto de verano si alguien quiere refrescar temas de análisis clásico. Pero no Dunford/Schwartz, a menos que realmente quieras profundizar en temas de maquinaria de funciones de conjuntos. Otro libro (2 volúmenes, en realidad) que se ha sugerido a menudo es Teoría de funciones de una variable real de Natanson, que por cierto acabé usando a menudo como referencia, pero como todo está restringido a la línea real el inconveniente es que no vas a ver ninguna teoría general de la medida.
Lo que deba leer DESPUÉS del material básico del curso de primer año dependerá enormemente del área de análisis en la que pretenda trabajar. En mi caso particular, y se trata de un área bastante periférica (pero que me parece fascinante), los libros que más utilicé fueron los siguientes Funciones reales por Goffman, Introducción a las funciones reales de Boas (edición de 1981), Segundo curso de funciones reales por van Rooij/Schikhof, Medida y categoría por Oxtoby, La geometría de los conjuntos fractales por Falconer, Geometría fractal por Falconer, Diferenciación de funciones reales de Bruckner (edición de 1978), Funciones reales de Thomson, y Teoría de la integral por Saks.
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Creo que una variedad de libros ofrece diferentes enfoques y perspectivas. Aunque no soy matemático, los libros que me resultaron útiles fueron Functional analysis, de Kantorovich y Akilov, e Introductory real analysis, de Kolmogorov y Fomin. A un nivel más elemental, me gustó Análisis clásico elemental, de Marsden. Rudin es un texto asombroso, pero me pareció un poco denso desde una perspectiva introductoria. Royden, Spivak, etc., también me resultaron útiles.