¿Qué valor de $\alpha$ es el % de límite $\lim{x\to 0} \frac{\arctan(x) \cdot \log(\sin(x)) - x \cdot \log(x) }{x^\alpha}$finito y distinto de cero?

Question

Mi hermano me hizo esta pregunta y me resultó muy difícil. Para que valor de $\alpha$ es el límite $$ \lim_{x\to0} \frac{\arctan(x) \cdot \log(\sin(x)) - x \cdot \log(x)} {x ^ \alpha} $$ finite and different from zero? The thing that confuses me is that I can't use McLaurin for $\log x$, porque no está definido en 0. ¿Es la pregunta realmente difícil o me falta algo?

Answer 1

Puede expandir $\log (\sin(x))=\log(x)-\frac{x^2}{6}$ y $\tan^{-1}(x)=x-\frac{x^3}{3}$ más términos de orden superiores.

Cancelación los términos de $x\log x$, pero la expresión todavía va a $$-x^{3-\alpha}\left(\frac16 + \frac13 \log(x)\right)$ $

Esto va a cero $\alpha

Answer 2

Es posible llegar a la misma conclusión que la de Mark Fischler, sin usar serie de Taylor. Primero tenga en cuenta\begin{equation} \log (\sin x)=\log \left( x\frac{\sin x}{x}\right) =\log x+\log \left( \frac{% \sin x}{x}\right) =\log x+\log \left( 1+\frac{\sin x-x}{x}\right) . \end{ecuación } entonces,\begin{eqnarray} \frac{\arctan x\log (\sin x)-x\log x}{x^{\alpha }} &=&\frac{\arctan x\left( \log x+\log \left( 1+\frac{\sin x-x}{x}\right) \right) -x\log x}{x^{\alpha }} \ &=&\frac{\left( \arctan x-x\right) \log x+\arctan x\log \left( 1+\frac{\sin x-x}{x}\right) }{x^{\alpha }} \ &=&\left( \frac{\arctan x-x}{x^{3}}\right) \left( \frac{\log x}{x^{\alpha -3}% }\right) \ &&+\left( x^{3-\alpha }\right) \left( \frac{\arctan x}{x}\right) \left( \frac{\sin x-x}{x^{3}}\right) \left( \frac{\log \left( 1+\left( \frac{\sin x-x}{x^{3}}\right) x^{2}\right) }{\left( \frac{\sin x-x}{x^{3}}\right) x^{2}}% \right) \end{eqnarray } usando estándar límites\begin{eqnarray} \lim{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x}{x^{3}} &=&-\frac{1}{6},\ \ \ \ \ \ \ \lim{x\rightarrow 0}\frac{\arctan x}{x}=1,\ \ \ \ \ \ \ \ \lim{x\rightarrow 0}\frac{\arctan x-x}{x^{3}}=-\frac{1}{3},\ \ \ \ \lim{u\rightarrow 0}\frac{\log (1+u)}{u}=1 \ \lim{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\log x}{x^{\alpha -3}} &=&\left{ \begin{array}{ccc} 0 & if & \alpha 3% \end{matriz} % \right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \lim{x\rightarrow 0 ^ {+}} x ^ {3-\alpha} = \left\ {\begin{array}{ccc} 0 & if & \alpha 3% \end{matriz} \right %. \end{eqnarray}

se deduce que\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\arctan x\log (\sin x)-x\log x}{x^{\alpha }}% =\left{ \begin{array}{ccc} \left( -\frac{1}{3}\right) \left( 0\right) +\left( 0\right) \left( 1\right) \left( -\frac{1}{6}\right) \left( 1\right) =0 & if & \alpha >3 \ \left( -\frac{1}{3}\right) \left( -\infty \right) +\left( 1\right) \left( 1\right) \left( -\frac{1}{6}\right) \left( 1\right) =+\infty & if & \alpha =3 \ \left( -\frac{1}{3}\right) \left( +\infty \right) +\left( +\infty \right) \left( 1\right) \left( -\frac{1}{6}\right) \left( 1\right) =-\infty & if & \alpha