$L^1$ norma de producto de variables aleatorias independientes

Question

Estoy intentando mostrar que$\|XY\|_1 = \|X\|_1\|Y\|_1$ para$X,Y$ variables aleatorias independientes, donde$\|X\|_1 = \int{|X| d\mathbb{P}}$.

Tengo la sensación de que este resultado es intuitivo, pero ¿podría alguien explicar desde una perspectiva teórica de la medida por qué esto es cierto? Gracias

Answer 1

Decir que$X$ y$Y$ son independientes significa exactamente que la distribución conjunta$P_{X, Y}$ influye como la medida del producto de$P_X$ y$P_Y$. Por el cambio de fórmula variable, tenemos$$\int_{\Omega} |XY|\, d P=\int_{\mathbb{R}^2} |xy|\, P_{X, Y}(dxdy)=\int_{\mathbb{R}^2}|xy|\, P_X(dx)P_Y(dy),$ $ y claramente los últimos factores integrales como$\int_{\mathbb{R}}|x|P_X(dx)\int_{\mathbb{R}}|y|P_Y(dy)$. Aplicando nuevamente el cambio de fórmula variable, vemos que esto es exactamente$\int_{\Omega}|X|\, dP\int_{\Omega}|Y|\, dP$.

Answer 2

Esto puede ser probado sólo con la definición de independencia de $\mathbb P(AB)=\mathbb P(A)\cdot \mathbb P(B)$ y la integral de Lebesgue.

Suponemos que $X$ $Y$ son no-negativos (de lo contrario tenemos en cuenta sus valores absolutos que todavía son independientes).

Observe que $X$ es el pointwise no decreciente límite de funciones características de los conjuntos medibles, y estos conjuntos pertenecen a $\sigma(X)$. Hacemos lo mismo para $Y$.

Por la monotonía de la convergencia, es suficiente para hacer al $X$ $Y$ son sencillas y en este caso, la relación puede ser comprobado fácilmente.