Deje $M$ ser una hipersuperficie (un submanifold de codimension 1) en $\mathbb{R}^{n}$. Es cierto que la curvatura Gaussiana intrínseca? (al $n>3$).
Recordatorio:
Nos centramos nuestra atención en una pequeña parte de $M$ que es orientable, y elegir un suave unidad normal de campo vectorial $N$. A continuación, se obtiene la forma del operador $s$, la satisfacción de: $$sX=-\nabla_xN$$ where $\nabla$ is the Levi-Civita connection on $\mathbb{R}^{n}$. $s$ is self-adjoint, hence there are $n$ real eigenvalues $k_1,...k_n$, and the Gaussian curvature is defined as $\det S=k_1k_2\cdots k_n$
Como señaló Ivo Terek, por extraño $n$, la respuesta es positiva.
Incluso para $n$, todavía me gustaría saber si la curvatura es intrínseca a firmar, yo.e si para un determinado $(M,g)$ sólo dos valores son posibles? (uno es el negativo de la otra).
Añadido Aclaración
Supongamos que tenemos un resumen $n−1$ dimensiones de Riemann colector, la cual puede ser embebido en $\mathbb{R}^n$. (Por el resumen me refiero a que no tenemos un "preferido" o "canónica" de la incrustación). La curvatura de Gauss es definido a través de una incrustación.
La pregunta es si sibe para obtener diferentes valores de la curvatura en el cómputo de w.r.t diferentes incrustaciones. (en el caso de $n$, consideramos que $k$,$−k$ como los mismos valores, ya que cambiando la dirección de la normal, hemos de cambiar la curvatura de la señal).
Para $n=3$ de Gauss, Theorema Egregium famoso afirma que la curvatura es una característica intrínseca de todos los idiomas, yo.e, dependiendo únicamente de la métrica de $M$, y no en la incorporación elegido.
La pregunta es si esto sigue siendo cierto en las dimensiones superiores?
