Encuentre un ejemplo de una secuencia que no esté en$l^1$ y satisfaga ciertas condiciones de acotación.

Question

Esta pregunta es acerca de la obtención de un ejemplo concreto de esta pregunta en delimitada holomorphic funciones que plantea @user122916 (algo que él realmente esperaba que, como se explica en los comentarios).

Dar un ejemplo de una secuencia de números complejos $(a_n)_{n\ge 0}$, de modo que \begin{eqnarray} |\sum_{n\ge 0} {a_n z^n} | &\le &1 \text{ for all }z \in \mathbb{C}, |z| < 1 \\ \sum_{n\ge 0} |a_n| &=& \infty \end{eqnarray}

Tales secuencias existen porque existen delimitada holomorphic funciones en la unidad de disco que no tiene una extensión continua a la unidad de círculo ( uno encuentra un almacén de Blaschke producto con cero conjunto que contiene el círculo unidad en su cierre). Sin embargo, un ejemplo concreto se me escapa. Tenga en cuenta que todo esto es parte de la teoría de la $H^{\infty}$ espacio, por lo que los especialistas pueden tener uno a la mano.

Answer 1

Un ejemplo es$f(z) = \exp {(-\frac{1+z}{1-z})}.$ As$-\frac{1+z}{1-z}$ es un mapa conforme del disco de la unidad abierta$\mathbb {D}$ en el semiplano izquierdo,$f$ es acotado y holomorfo en$\mathbb {D}.$ Nosotros tener$f$ continuo en$\overline {\mathbb {D}} \setminus \{1\}.$ Comprobar que en$\partial \mathbb {D}\setminus \{1\},$ tenemos$|f| = 1.$ Sin embargo$f(r) \to 0$ (por decir lo menos) como$r\to 1^-.$ Sigue ese$f$ no tiene una extensión continua a$\overline {\mathbb {D}}.$ Por lo tanto, para este$f, \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| = \infty.$

Answer 2

Considere un producto de Blaschke$$ f(z) = \prod_{n=1}^\infty \dfrac{z - r_n}{1 - r_n z}$ $ donde$0 \le r_n < 1$ y$r_n \to 1$ como$n \to \infty$; esto converge en el disco de la unidad abierta si$\sum_n (1 - r_n) < \infty$. Si su serie Maclaurin es$\sum_n a_n z^n$ y$\sum_n |a_n|$ converge, entonces$\sum_n a_n = S$ converge y el teorema de Abel dice$f(x) \to S$ como$x \to 1-$. Por supuesto,$f(r_n) = 0$, así que todo lo que tenemos que hacer es asegurarnos de que$f(s_n)$ no vaya a$0$ para alguna otra secuencia$s_n \to 1-$.

Tome$t_n = 1 - b^{n}$,$r_n = t_{2n}$ y$s_n = t_{2n+1}$, donde$0 < b < 1/2$. Tenga en cuenta que si$m < n$,$(1-t_n)/(1-t_m) = b^{n-m}$ y$$ \dfrac{t_n - t_m}{1-t_n t_m} = 1 - \dfrac{(2-b^m) b^{n-m}}{1 + b^{n-m} - b^{n}} > 1 - 2 b^{n-m}$ $ Así obtenemos$$|f(s_n)| > \prod_{j=1}^\infty (1 - 2 b^{1+2j})^2 > 0$ $

Answer 3

A partir de la respuesta de @zhw. y los comentarios de @Robert Israel creo que nos puede dar un ejemplo claro de la siguiente manera:

$$z \mapsto e^{-\frac{1+z}{1-z}}$$ is holomorphic on the unit disk and bounded in absolute value by $1$ ( @zhw. respuesta)

Desde el comentario de @Robert Israel obtenemos el explícito de expansión de la serie

$$e^{-\frac{1+z}{1-z}} = e^{ -1 -\frac{2z}{1-z}} = e^{-1} \cdot \sum_{n\ge 0} L^{(-1)}_n(2)\, z^n$$

donde $L^{(\alpha)}_n(x)$ son los polinomios de Laguerre.

Hemos asymptotics para los polinomios de Laguerre. Algunos numérico pruebas sugieren los siguientes explícito de la envolvente:

$$ \frac{L^{(-1)}_n(2)}{e} - \frac{2^{1/4} }{\sqrt{\pi}} \frac{\cos(\sqrt{8n} + \frac{\pi}{4}) }{n^{3/4}} = \theta_n\cdot n^{-5/4}$$ con $|\theta_n| \le \frac{1}{7.2}$ ($n \ge 1$).

Llegamos a la conclusión de que para todos los $z$ en $\mathbb{C}$, $|z| <1$ tenemos

$$\left|\sum_{n\ge 1} \frac{\cos(\sqrt{8n} + \frac{\pi}{4}) }{n^{3/4}}\, z^n\right | < \frac{\sqrt{\pi}}{2^{1/4}}\cdot (\, 1/e + 1 + \frac{5}{36} \zeta(5/4)\,) = 2.9899..<3$$