Encontrar los coeficientes de Christoffel

Question

Evaluar los coeficientes de Christoffel de la siguiente superficie de revolución:

$$X(\theta,s)=(r(s)\cos\theta,r(s)\sin\theta,z(s))$$

Así que primero empezamos por encontrar el mertico

$X_{\theta}=(-r\sin\theta,r\cos\theta,0)$

$X_{s}=(r'\cos\theta,r'\sin\theta,z')$

$g_{11}=<X_{\theta},X_{\theta}>=r^2\sin^2\theta+r^2\cos^\theta=r^2(\sin^2\theta+\cos^\theta)=r^2$

$g_{12}=g_{21}=<X_{\theta},X_{s}>-rr'\sin\theta \cos\theta+rr'\sin\theta \cos\theta=0$

$g_{22}=<X_{s},X_{s}>=(r')^2\cos^2\theta+(r')^2\sin^2\theta+(z')^2=(r')^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+(z')^2=(r')^2+(z')^2$

Así que obtenemos $$g_{ij}=\begin{pmatrix}r^2 & 0\\0 & (r')^2+(z')^2\end{pmatrix}$$

Ahora en el libro vi que $(r')^2+(z')^2=1$ ¿Por qué? ¿Podemos decir que todas las superficies de revolución tienen la misma métrica?

$$g_{ij}=\begin{pmatrix}r^2 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}?$$

Ahora tenemos que encontrar $$g_{ij,\theta}=\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}$$ y $$g_{ij,s}= \begin{pmatrix}2r^2r' & 0\\0 & 0\end{pmatrix}$$

y $$g^{ij}=\frac{1}{r^2}\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & r^2\end{pmatrix}$$

Ahora, ¿cómo calcular los coeficientes de Christoffel?

Answer 1

La condición $(r')^2+(z')^2=1$ no se desprende de nada más, sino que debe suponerse por separado. Sin embargo, esta suposición no es irrazonable o restrictiva.

Considere la curva $\gamma\colon I\to(0,\infty)\times\mathbb R$ dado por $\gamma(s)=(r(s),z(s))$ , donde $I$ es un intervalo abierto. Esta curva se supone (con suerte) inyectiva - un arco. La superficie de revolución sólo depende de la imagen $\gamma(I)$ (que luego gira en torno a un eje), no en la parametrización. La parametrización más conveniente suele ser la de la velocidad unitaria, de modo que $$ 1 = |\gamma'(s)|^2 = (r')^2+(z')^2. $$ Esta es precisamente su condición.

Se podría utilizar cualquier parametrización. Esto simplemente produciría un sistema de coordenadas diferente en la superficie. Después de todo, la reparametrización no es más que un cambio de coordenadas en la dimensión uno.

Para calcular los símbolos de Christoffel, puedes utilizar la fórmula (que espero te hayan dado): $$ \Gamma^i_{\phantom{i}jk} = \frac12g^{il}(g_{lj,k}+g_{lk,j}-g_{jk,l}). $$ Ha calculado todos los elementos de la matriz necesarios (con coordenadas $(x^1,x^2)=(\theta,s)$ ): $$ \begin{split} g_{11}&=r^2 \\ g_{12}&=0 \\ g_{22}&=1 \\ g^{11}&=r^{-2} \\ g^{22}&=1 \\ g^{12}&=0 \\ g_{ij,1}&=0 \\ g_{ij,2}&=\delta_{1i}\delta_{1j}2rr'. \end{split} $$ (Había un error tipográfico en su $g_{11,2}$ es $2rr'$ no $2r^2r'$ .) Ahora sólo tienes que multiplicar y sumar todo esto según la fórmula. Tendrás que calcular $\Gamma^1_{\phantom{1}11}$ , $\Gamma^1_{\phantom{1}12}=\Gamma^1_{\phantom{1}21}$ , $\Gamma^1_{\phantom{1}22}$ , $\Gamma^2_{\phantom{2}11}$ , $\Gamma^2_{\phantom{2}12}=\Gamma^1_{\phantom{2}21}$ y $\Gamma^2_{\phantom{2}22}$ .

Puede parecer que todas las superficies de revolución tienen la misma métrica $$ g=\begin{pmatrix}r^2 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}. $$ (Obsérvese que denoto la matriz por $g$ . Los elementos de la matriz son $g_{ij}$ por ejemplo $g_{11}=r^2$ . Su material puede utilizar otra convención). Sin embargo, esto no es exactamente cierto; la forma en que el radio $r$ varía según las superficies. Recuerde que $r$ depende de $s$ que es una de sus coordenadas. Si tuvieras dos superficies de revolución con radios $r,\tilde r$ Satisfaciendo a $r(s_0)=\tilde r(s_0)$ en algunos $s_0\in I$ entonces las dos métricas son exactamente iguales en las coordenadas $(\theta,s_0)$ para cualquier $\theta$ . Pero esto sólo es válido si los radios coinciden. Y si los radios coinciden para cada $s$ entonces las superficies son las mismas y las métricas deberían ser idénticas.