Desigualdades que implican espacios de Sobolev.

Question

Dejemos que $I = (0, 1)$ . Tengo dos preguntas.

1. Dejemos que $p > 1$ . Para todos los $\epsilon > 0$ ¿existe necesariamente $C = C(\epsilon, m, p)$ tal que $$\sum_{j = 0}^{m-1} \|D^j u\|_{L^\infty(I)} \le \epsilon\|D^m u\|_{L^p(I)} + C\|u\|_{L^1(I)} \text{ for all }u \in W^{m, p}(I)?$$

2. Dejemos que $1 \le q < \infty$ . ¿Tenemos necesariamente que para todos $\epsilon > 0$ existe $C = (\epsilon, q)$ tal que $$\|D^{(m-1)}u\|_{L^q(I)} + \sum_{j = 0}^{m-2} \|D^j u\|_{L^\infty(I)} \le \epsilon\|D^m u\|_{L^1(I)} + C\|u\|_{L^1(I)} \text{ for all }u \in W^{m, 1}(I)?$$

Answer 1

Para la primera pregunta, la respuesta es sí.

Prueba: Toma $\varepsilon>0$ . Dejemos que $c>0$ sea una constante tal que $\|\cdot\|_{L^p}\leq c\|\cdot\|_{L^\infty}$ . Establecer $\eta=\frac{\varepsilon}{1+c\varepsilon}$ .

Desde $W^{m,p}(I)\subset C^{m-1}(\overline{I})$ es compacto y $C^{m-1}(\overline{I})\subset L^1(I)$ es continua, el lema en este puesto implica que existe una constante $C_\eta>0$ tal que \begin{align} \sum_{j=0}^{m-1}\|D^ju\|_{L^\infty}&=\|u\|_{C^{m-1}}\\ &\leq\eta\|u\|_{W^{m,p}}+C_\eta\|u\|_{L^1}\\\\ &=\eta \sum_{j=0}^{m-1}\|D^ju\|_{L^p}+\eta\|D^mu\|_{L^p}+C_\eta\|u\|_{L^1}\\\\ &\leq c\eta \sum_{j=0}^{m-1}\|D^ju\|_{L^\infty}+\eta\|D^mu\|_{L^p}+C_\eta\|u\|_{L^1} \end{align} y por lo tanto $$(1-c\eta)\sum_{j=0}^{m-1}\|D^ju\|_{L^\infty}\leq\eta\|D^mu\|_{L^p}+C_\eta\|u\|_{L^1}$$ Tomando $C=\frac{C_\eta}{1-c\eta}$ obtenemos $$\sum_{j=0}^{m-1}\|D^ju\|_{L^\infty}\leq\frac{\eta}{1-c\eta}\|D^mu\|_{L^p}+\frac{C_\eta}{1-c\eta}\|u\|_{L^1}=\epsilon \|D^mu\|_{L^p}+C\|u\|_{L^1}$$ como se desee.