En la distribución de los múltiplos de 7 en intervalos de longitud 11

Question

Digamos que tenemos dos primos, a decir de 7 y 11. Vamos a considerar las posiciones de los múltiplos de 7 dentro de los (7 cubos de) múltiplos de $11$.

Así que los cubos de 11 son:

$[1,11],[12,22],\ldots ,[67,77]$, 7 en total.

Y los múltiplos de 7 $7,14,21,28,\ldots,70,77$, 11 en total.

Por el PP, podemos decir que cada cubo contiene al menos uno de los múltiples, pero no podemos colocar un límite superior sobre el contenido de cada uno de ellos. ¿Cómo podemos demostrar que hay $3$ baldes con múltiples 1 y 4 cubos con 2 múltiplos y, a continuación, generalizar el resultado?

Answer 1

Claramente, ya que $7<11$ hay al menos uno de varios en cada cubo y desde $2\times 7 = 14 >11$ no existen más de dos múltiplos de cada segmento. Ya sabemos que el número total de múltiplos de 7 y el número total de cubos, estos límites sirven para dar el resultado de $4$ baldes con $2$ múltiplos y $3$ baldes con sólo uno de varios en.

Al considerar $x$ cubos de tamaño $y$, sabemos que cada cubo contendrá, al menos, $k=\lfloor y/x \rfloor$ y no más de $\lceil y/x \rceil$ múltiplos, ya $kx\le y$$(k+1) x > y$, por definición. El exceso después de todos los cubos tienen $k$ múltiplos reparten entre ellos es $(y \bmod x)$. Así, habrá un $(y \bmod x)$ cubos (puede ser cero) que contenga $\lceil y/x \rceil$ múltiplos y el resto con $\lfloor y/x \rfloor$ múltiplos.

Answer 2

Deje $p_1$ $p_2$ ser dos números diferentes (no necesariamente primo), y por razones de simplicidad asumir que son coprime. Supongamos $kp_1 < p_2 < (k+1)p_1$. Cada una de las $p_2$-cubo contiene al menos $k$ múltiplos de $p_1$, y en la mayoría de las $k+1$ múltiplos de $p_1$. Hay $p_1$ de los cubos en total, y supongamos $n$ de ellos contienen exactamente $k$ múltiplos de $p_1$ ($p_1 - n$ contienen exactamente $k+1$).

Entonces no hay una única solución a la ecuación de $nk + (p_1-n)(k+1) = p_2$, por lo que necesariamente tenemos $n = (k+1)p_1 - p_2$ baldes conteniendo $k$ múltiplos, y $p_1 - n$ baldes conteniendo $k+1$.

En su caso, $k = 1$, $p_1 = 7$ y $p_2 = 11$, por lo que el $n = 2 \times 7 - 11 = 3$ baldes con $k=1$ varios de $p_1 = 7$, e $p_1 - n = 4$ baldes con $k+1 = 2$ múltiplos de $7$.

Answer 3

Contiene el intervalo $[11k, 11(k+1)]$ $1$ o $2$ múltiplos de siete dependiendo del $k \space (\mod 7)$ de la siguiente manera:

$$k \equiv 0 : 2$$ $$k\equiv 1 : 2$$ $$k\equiv 2 : 1$$ $$k\equiv 3 : 2$$ $$k\equiv 4 : 1$$ $$k\equiv 5 : 2$$ $$k\equiv 6 : 2$$