Resolver la ecuación diferencial $dy/dx=\frac{6}{x+y}$

Question

<blockquote> <p>Que $ \text{ }\dfrac{dy}{dx}=\frac{6}{x+y}$ donde $y(0)=0$. Encuentra el valor de $y$ cuando $x+y=6$.</p> </blockquote> <p>He intentado lo siguiente:</p> <p>Que $x+y=v$. Así $$ \text{ }\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dv}{dx}-1$ $</p> <p>Por lo tanto $$ \dfrac{dv}{dx}=\dfrac{6+v}{v}$ $</p> <p>Separando las variables e integrando, consigo $$ y = 6\ln (x + y +6) + C$ $</p> <p>Podría alguien por favor, muéstrame donde he salido mal y cómo seguir adelante? % $ $$$muchas gracias de antemano.</p>

Answer 1

$u = x + y \implies u' = 1 + y' $. Por lo tanto,

$$ u' - 1 = \frac{6}{u} \implies u' = \frac{6+u}{u} \implies \int \frac{ u du }{6 + u} = x +C \implies u - 6 \ln|u+6| = x + C $$

Desde $u = x+y$, entonces

$$ x + y - 6 \ln | x + y + 6 | = x + C $$

Desde $y(0) = 0$, entonces

$$ 0 + 0 - 6 \ln 6 = C \implies C = - 6 \ln 6 $$