¿Es un subgrupo normal finito de un grupo algebraico reductor central?

Question

En una prueba que estoy leyendo, el autor considera la situación en la que $G$ es un grupo algebraico reductor (variedad) sobre los números complejos $\mathbb C$ y $N\trianglelefteq G$ es un subgrupo cerrado y normal de $G$ que también es finito. El autor concluye que "porque $G$ es reductor" , $N$ debe estar contenido en el centro de $G$ . Sin embargo, no puedo hacer esa misma deducción. ¿Es algún resultado conocido? ¿Puedes dar una prueba?

Por cierto, si $G$ está conectado, entonces esto no parece tener nada que ver con la reductividad en absoluto. Dejemos que $u\in N$ entonces $G.u\subseteq N$ es finito. Como $0=\dim(G.u)=\dim(G)-\dim(G_u)$ el estabilizador de $u$ es un subgrupo cerrado de $G$ que tiene una dimensión máxima, por lo tanto $G=G_u$ . Sin embargo, el autor afirma explícitamente que la reductividad de $G$ es la razón de su deducción, y tengo curiosidad por saber cuál sería.

Answer 1

Recuerdo haber escrito sobre esto hace un tiempo. Esto es válido para grupos algebraicos conexos sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ no necesariamente reductor: Sea $H$ sea el subgrupo normal. Sea $y\in H$ y que $G\to G$ sea dada por $x\mapsto xyx^{-1}$ . Desde $H$ es normal, esto envía $G$ en $H$ . La imagen de un grupo conexo es conexa, por lo que la imagen es un único punto. En particular, tomando $x = 1_G$ vemos que la imagen de $G$ es en realidad $y$ . Por lo tanto, $y$ conmuta con cada elemento de $G$ .

Si se toma la definición de $G$ siendo reductora como sólo radical unipotente trivial, esto es seguramente falso. Por ejemplo, $N = G$ y $G$ un grupo finito no abeliano que es un grupo algebraico.

Answer 2

En realidad, cualquier subgrupo normal finito H de un grupo algebraico conexo G es central. (Consideremos la acción GxH->H por conjugación. Las órbitas son conexas).