¿Qué hace $d\log\left(\frac{y}{x}\right)$ ¿se refiere a las matemáticas?

Question

Estoy acostumbrado a ver los derivados escritos como $$\frac{df}{dx}.$$

Pero mi profesor de economía sigue usando notación como $$ d\log\left(\frac{y}{x}\right)$$ y no tengo ni idea de lo que significa. ¿Qué significa esta anotación?

Si es un derivado, ¿respecto a qué? No hay término denominador. Y yo que pensaba que el cálculo moderno utilizaba el análisis estándar con límites y no infinitesimales.

mi pregunta:

1. ¿Qué hace $d\log\left(\frac{y}{x}\right)$ ¿significa?
2. ¿Cómo tomo este derivado y con respecto a qué?

Answer 1

Si tiene una función $f: \Bbb R^n \to \Bbb R$ digamos, $f(x_1,\cdots,x_n)$ Entonces: $${\rm d}f = \frac{\partial f}{\partial x_1}{\rm d}x_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}\,{\rm d}x_n. $$ En su caso: $${\rm d}\left(\log\left(\frac{y}{x}\right)\right) = \frac{x}{y}\left(-\frac{y}{x^2}\right)\,{\rm d}x+ \frac{x}{y}\frac{1}{x} \,{\rm d}y = -\frac{1}{x}\,{\rm d}x + \frac{1}{y}\,{\rm d}y.$$

Answer 2

En economía, el diferencial logarítmico (llamado elasticidad) representa el cambio porcentual diferencial

$$d\log (x)=\frac{dx}{x}$$

de una variable económica. Para la elasticidad del interés

$$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}$$

que representa el cambio porcentual de la relación $y/x$ . También se puede expresar como

$$d\log(y/x)=d\log (y)-d\log(x)=\frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$$

que representa la diferencia de los cambios porcentuales diferenciales.

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Si $U(x,y)$ es la función de utilidad para el consumo, entonces la elasticidad de sustitución viene dada por

$$\frac{d\log(y/x)}{d\log(U_x/U_y)}=\frac{\frac{d(y/x)}{(y/x)}}{\frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)}}$$

donde $U_x=\frac{\partial U}{\partial x}$ , $U_y=\frac{\partial U}{\partial y}$ y $U_x/U_y$ es la tasa marginal de sustitución.

Answer 3

¿Conoces el origen de la notación de Leibniz? $\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}$ ? Viene de la derivación de primeros principios de que la derivada es el límite del gradiente de secantes de una función, donde ese gradiente se calcula midiendo un cambio en $y$ en relación con un cambio en $x$ es decir $\frac{\delta y}{\delta x}$ como $\delta x \rightarrow 0$ .

Sin embargo, también se puede mirar algo como $\frac{\rm d}{{\rm d}x}$ como un operador que transforma una función en su derivada, por lo que $\frac{\rm d}{{\rm d}x} f(x) = \frac{{\rm d}f}{{\rm d}x}$ .

Y luego tenemos las integrales, que (al menos si trabajamos con sumas de Riemann) son un límite de sumas de áreas de rectángulos que se aproximan a una función, a medida que hacemos que el ancho de los rectángulos se acerque a cero, es decir $\int f(x) {\rm d}x$ es el límite de $\sum (f(x) \times \delta x)$ como $\delta x \rightarrow 0$ .

Así que, en un sentido incorrecto pero algo intuitivo, ${\rm d}$ está a medio camino entre ser "un cambio infinitesimal en algo" y "un operador que representa la base de una derivada o integral".

Así que si escribes ${\rm d}f(x, y)$ entonces estás tratando de representar algo sobre el comportamiento de $f$ y, en particular, se puede dividir como ${\rm d}f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x}{\rm d}x + \frac{\partial f}{\partial y}{\rm d}y$ que tiene un poco más de sentido en el contexto de una derivada o una integral, por ejemplo, $\frac{{\rm d}f}{{\rm d}x} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{{\rm d}x}{{\rm d}x} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = f_x+y'f_y$ o $\int {\rm d}f = \int \frac{\partial f}{\partial x}{\rm d}x + \int \frac{\partial f}{\partial y}{\rm d}y$ .

Answer 4

Respuestas:

1. Tenemos una función f, y un punto x para esa función. Muy a menudo podemos representar el cambio del valor de la función cerca de este punto de forma lineal con respecto al cambio del argumento "A*dx" y con un pequeño error infitino "|dx|*o(dx)" si dx->0. Así que ese cambio lineal sin "error" se llama diferencial y es df

2a. En tu caso df debe ser lineal respecto a dx. Existe un teorema que dice que si tienes una función y tiene derivadas parciales por toda variable y todas esas derivadas parciales y continuas entonces la función es diferenciable, y puedes representarla como f(x+dx)-f(x) =A dx+0(dx) |dx|

2b. Existe un teorema más que dice que si la función es difenretible entonces f(x+dx) -f(x) = gradiente(f) * dx + 0(dx)*|dx|

p.d. La disciplina matemática que cubre esa segunda pregunta es el recuento diferencial sobre funciones multivariables.