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¿Qué funciones son la composición de funciones convexas?

La composición de funciones convexas no es necesariamente convexa o cóncava: Por ejemplo, la composición de f1(x)=x21 y f2(y)=y2 da f2(f1(x))=(x21)2 . O considere f1(x)=x2 y f2(y)=ey , que dan como resultado f2(f1(x))=ex2 . (Por supuesto, la composición es convexa si se supone que la función exterior es adicionalmente creciente).

La pregunta, entonces, es: ¿Cuáles son todas las funciones que pueden expresarse como composición de funciones convexas?

Dos maneras ligeramente diferentes de plantear esto de manera un poco más formal:

  • Que funciones se pueden expresar como fnf1 , donde f1,...,fn:RR son funciones convexas?
  • La misma pregunta, pero con fk:Ik1Ik , donde I0,I1,...,In son intervalos (posiblemente infinitos) de la recta real (es decir, subconjuntos convexos de R ).

(Incluso podríamos generalizar más para permitir f1 que se definan, por ejemplo, en Rn .)

Pensé en esta pregunta, y ni siquiera me pareció obvio si, por ejemplo, xx3 es una composición de funciones convexas. Se agradece su ayuda.

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Matthew Scouten Puntos 2518

No es una respuesta completa, pero al menos puedo disponer de h:xx3 . Supongamos que esto es fg con f , g convexo. Dado que h es uno a uno en R necesitaríamos g para ser uno a uno en R y f para ser uno a uno en g(R) . Ahora bien, las derivadas unilaterales izquierda y derecha de una función convexa uno a uno son estrictamente positivas (si la función es creciente) o estrictamente negativas (si la función es decreciente). Esto haría imposible obtener h(0)=0 .

Por otro lado, por ejemplo x+x3 es una composición de funciones convexas. Tomemos f(x)=g(x)={x if x0xx3 if x<0

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