La composición de funciones convexas no es necesariamente convexa o cóncava: Por ejemplo, la composición de f1(x)=x2−1 y f2(y)=y2 da f2(f1(x))=(x2−1)2 . O considere f1(x)=x2 y f2(y)=e−y , que dan como resultado f2(f1(x))=e−x2 . (Por supuesto, la composición es convexa si se supone que la función exterior es adicionalmente creciente).
La pregunta, entonces, es: ¿Cuáles son todas las funciones que pueden expresarse como composición de funciones convexas?
Dos maneras ligeramente diferentes de plantear esto de manera un poco más formal:
- Que funciones se pueden expresar como fn∘⋯∘f1 , donde f1,...,fn:R→R son funciones convexas?
- La misma pregunta, pero con fk:Ik−1→Ik , donde I0,I1,...,In son intervalos (posiblemente infinitos) de la recta real (es decir, subconjuntos convexos de R ).
(Incluso podríamos generalizar más para permitir f1 que se definan, por ejemplo, en Rn .)
Pensé en esta pregunta, y ni siquiera me pareció obvio si, por ejemplo, x↦x3 es una composición de funciones convexas. Se agradece su ayuda.