¿Qué funciones son la composición de funciones convexas?

Question

La composición de funciones convexas no es necesariamente convexa o cóncava: Por ejemplo, la composición de $f_1(x) = x^2-1$ y $f_2(y) = y^2$ da $f_2(f_1(x)) = (x^2-1)^2$ . O considere $f_1(x) = x^2$ y $f_2(y) = e^{-y}$ , que dan como resultado $f_2(f_1(x)) = e^{-x^2}$ . (Por supuesto, la composición es convexa si se supone que la función exterior es adicionalmente creciente).

La pregunta, entonces, es: ¿Cuáles son todas las funciones que pueden expresarse como composición de funciones convexas?

Dos maneras ligeramente diferentes de plantear esto de manera un poco más formal:

• Que funciones se pueden expresar como $f_n \circ \cdots \circ f_1$ , donde $f_1, ..., f_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ son funciones convexas?
• La misma pregunta, pero con $f_k : I_{k-1} \to I_k$ , donde $I_0, I_1, ..., I_n$ son intervalos (posiblemente infinitos) de la recta real (es decir, subconjuntos convexos de $\mathbb{R}$ ).

(Incluso podríamos generalizar más para permitir $f_1$ que se definan, por ejemplo, en $\mathbb{R}^n$ .)

Pensé en esta pregunta, y ni siquiera me pareció obvio si, por ejemplo, $x \mapsto x^3$ es una composición de funciones convexas. Se agradece su ayuda.

Answer 1

No es una respuesta completa, pero al menos puedo disponer de $h: x \mapsto x^3$ . Supongamos que esto es $f \circ g$ con $f$ , $g$ convexo. Dado que $h$ es uno a uno en $\mathbb R$ necesitaríamos $g$ para ser uno a uno en $\mathbb R$ y $f$ para ser uno a uno en $g(\mathbb R)$ . Ahora bien, las derivadas unilaterales izquierda y derecha de una función convexa uno a uno son estrictamente positivas (si la función es creciente) o estrictamente negativas (si la función es decreciente). Esto haría imposible obtener $h'(0) = 0$ .

Por otro lado, por ejemplo $x + x^3$ es una composición de funciones convexas. Tomemos $$f (x) = g(x) = \cases{-x & if $ x \ge 0 $\cr -x - x^3 & if $ x < 0 $\cr}$$