Dominio de la función dada

Question

Una función$y(x)$ se define como $$2^y+2^x=2$$ The question is about finding it's domain. Pretty simple. By observing the function I could say all the negative numbers are in the domain. But, I think $0$ is included in the domain because the function is defined at $0$ . The text book says $0$ no está incluido. ¿Como es eso?

Answer 1

Ciertamente$0$ está en el dominio; cuando$x=0$, tenemos$2^y + 2^0=2$, para lo cual hay una solución única.

Sospecho que hay un error tipográfico en el libro y tenían la intención de decir que$x=1$ no está incluido. Cuando$x=1$, luego$2^y+2^1=2$, pero eso significa$2^y=0$, lo cual es imposible. El dominio es$(-\infty,1)$.

Answer 2

$\bf{My\; Solution}$ Given$$\displaystyle 2^x+2^y = 1\Rightarrow 2^y=(1-2^x)

Ahora para$x=0\;,$ obtenemos$2^0+2^y=2\Rightarrow 2^y=1\Rightarrow y=0$

Ahora tomando$\log_{2}$ en ambos lados, obtenemos$$\displaystyle \log_{2}(2)^y = \log_{2}(1-2^x)

Entonces obtenemos $$y=\log_{2}(1-2^x)\;,$$ Which is defined when $$(1-2^x)>0

Entonces$$2^x-1<0\Rightarrow 2^x<2^0\Rightarrow x<0

Entonces obtenemos el dominio$$x\in \left(-\infty\;,0\right]