En el análisis asintótico y en la teoría analítica de números, a menudo hay que tratar con integrales complejas sobre contornos infinitos en el plano complejo, y las técnicas necesarias para hacerlo a menudo van más allá de los cursos estándar del análisis complejo en una variable. En particular, me interesa el siguiente tipo de argumento que no entiendo del todo y que intentaré ilustrar con un ejemplo (tomado de Paris y Kaminski, "Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals"):
Consideremos la llamada integral de Cahen-Mellin $$e^{-z}=\frac{1}{2\pi i}\int_{(c)}\Gamma(s)z^{-s}ds,\ \arg(z)<\frac{\pi}{2}, z\neq 0,$$ que es una representación integral de la función exponencial tomando la transformada inversa de Mellin de la función Gamma, donde el contorno de integración $(c)$ representa la línea vertical $\{\Re(s)=c\}$ con algunos $c>0$ . Se puede demostrar que el integrando tiene "el comportamiento de control" $|z|^{-\sigma}O(|t|^{\sigma-{1\over 2}}e^{t\arg(z)-{1\over 2}\pi|t|})$ como $|t|\to\infty$ , donde $s=\sigma + it$ . Ahora, aparte de la forma obvia de mostrar la validez de la representación integral anterior, Paris y Kaminski argumentan que debido al mencionado decaimiento exponencial del integrando se nos permite mover el contorno de integración sobre los polos de la función Gamma y utilizar los residuos de ésta para obtener la serie exponencial. Este es precisamente el argumento que quiero entender, así que trataré de desglosarlo en algunas cuestiones más pequeñas:
(Q1) ¿Cómo el decaimiento exponencial del integrando nos permite desplazar el contorno de la intagración sobre las singularidades? ¿Existe una configuración más general en la que el comportamiento asintótico del integrando permita desplazar el contorno de integración a través y sobre las singularidades?
(Q2) Tras el desplazamiento del contorno de integración (que sigue siendo una línea vertical), ¿qué tipo de teorema de residuos permite considerar todas las infinitas singularidades de la función gamma?
La versión del teorema del residuo que conozco utiliza el interior acotado de un contorno (simplemente) cerrado en el plano complejo y sólo un número finito de residuos contenidos en él.
Observación 1: Para calcular la integral anterior de forma clásica, tomaría un segmento finito de la recta vertical, simétrico respecto al eje real positivo, es decir $\{Re(s)=c, -r_n\leq\Im(s)\leq r_n\}$ construye segmentos de círculo con radios $r_n$ abarcando cada uno de los polos, con $r_n\uparrow \infty$ elegidos convenientemente de forma que no haya polos en los contornos de los segmentos, y luego demostrar que las integrales sobre los semicírculos tienden a cero como $n\to\infty$ obteniendo así, por un lado, la integral sobre la línea vertical infinita y, por otro, la suma infinita de los residuos. Sin embargo, no he comprobado realmente si el decaimiento exponencial del integrando bastaría para que las integrales del semicírculo desaparecieran en el límite.
Observación 2: Podría imaginar que podría haber una versión del teorema del residuo convenientemente formulada para la esfera de Riemann resp. $\bar{\mathbb{C}}:=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ donde los contornos básicamente infinitos del plano complejo corresponden a los cerrados en la esfera.
(Q3) ¿Dónde se podría encontrar un tratamiento más sistemático de las integrales sobre contornos infinitos en el plano complejo, incluyendo el desplazamiento del contorno sobre los polos, otros tipos de modificaciones del contorno, el uso de residuos infinitos, así como otras técnicas para el cálculo exacto de dichas integrales? Tengo entendido que estas técnicas suelen aplicarse "individualmente", por lo que lo ideal sería que dicha literatura contuviera algunos buenos ejemplos.
Gracias de antemano por su atención y disculpen si parezco demasiado confuso :-), sólo trato de llenar ciertas "lagunas" en mis conocimientos sobre el análisis complejo.
PD: Soy no interesado en cálculos numéricos o general expansiones asintóticas para integrales de contorno (aunque en el ejemplo anterior la "expansión" de residuos aparece como un caso especial de la misma).
