¿Es positiva esta función?

Question

Me preguntaba si: $$\int_0^1x(t)\int_0^tx(s)ds\ dt$$ es positivo para un $x\in L_2[0,1]$ . ¿Puede ayudarme con esto?

Answer 1

Por el teorema de Fubini, la integral es igual a $$ I=\int_{0\leq s\leq t\leq 1}x(s)x(t)\,dsdt. $$ Por simetría, $$ I=\int_{0\leq t\leq s\leq 1}x(s)x(t)\,dsdt. $$ Sumando las dos ecuaciones, $$ 2I = \int_{0\leq s\leq t\leq 1}x(s)x(t)\,dsdt+\int_{0\leq t\leq s\leq 1}x(s)x(t)\,dsdt, $$ de donde $$ 2I = \int_{0\leq s,t\leq 1} x(s)x(t)\,dsdt. $$ Por el teorema de Fubini otra vez, $$ 2I = \left(\int_0^1 x(s)\,ds\right)\left(\int_0^1 x(t)\,dt\right) = \left(\int_0^1 x(r)\,dr\right)^2.$$ El lado derecho es no negativo, por lo tanto también lo es $I$ .