$\ln(x)$ , $e^{x}$ y $\int \frac{1}{x}dx$ relación

Question

Mi profesor de matemáticas me dijo que $\int_1^x \frac{1}{t} dt$ es $\ln(x)$ por la definición hasta ahora todo va bien.

Pero, ¿cómo/por qué $\ln(x)$ ( $\int_1^x\frac{1}{t} dt$ : por definición) coinciden con la inversa de $e^{x}$ ? Gracias.

Answer 1

Si $$f(x) = \int_1^x \dfrac{dt}t$$ y $$g'(x) = g(x)$$ con $g(0) = 1$ entonces podemos demostrar que $f(x) = g^{-1}(x)$ .

Configuración $t = g(y)$ , obtenemos que $dt = g'(y) dy$ . Cuando $y=0$ , obtenemos que $t=1$ y cuando $y = g^{-1}(x)$ , obtenemos que $t=x$ .

Por lo tanto, $$f(x) = \int_{0}^{g^{-1}(x)} \dfrac{g'(y) dy}{g(y)} = \int_{0}^{g^{-1}(x)} dy = g^{-1}(x)$$

Answer 2

Estoy en desacuerdo/desapruebo a cualquier profesor de matemáticas que diga que esto es una definición. No lo es. Nadie puede asignar más de una definición a un mismo concepto sin demostrar en alguna parte la equivalencia.

¿Quieres hablar de definición? Uno de los miembros de la familia Bernoulli, mientras trabajaba en problemas de crecimiento de cuentas bancarias y problemas de interés compuesto, fue capaz de demostrar que una cuenta bancaria que crece con el 100% de TAE, compuesto continuamente, converge a un valor un poco más de 2,7 veces el del principio. HE demostró que $\lim_{n\to \infty} (1+\frac{1}{n})^n = e$ .

ESTO es la definición. Lo más fundamental y el principio de igualdad. Este es el origen histórico, el primero cronológico, y la base de todas las demás propiedades que siguieron, y que se demostraron equivalentes.

Así que ahora has establecido la existencia de e. Tomando $e^x$ es un concepto algebraico trivial. Tomando como ejemplo los problemas de crecimiento del interés, $e^x$ es el saldo de una cuenta bancaria con un principio de 1 después de $x$ años.

Introduzca los logaritmos: Si $e^m = n $ entonces (por definición del logaritmo) tenemos $m = \log_e(n)$ .

Entonces, podemos decir $\log_e(n) = \ln(n)$ . Se trata de una nomenclatura. Es sólo una forma estándar y más sencilla de escribir un logaritmo que aparece con frecuencia. Esta equivalencia no está probada, es una definición. Pero no es una coincidencia matemática, es simplemente una verdad arbitrada. Fue asignada e inventada por simplicidad.

Prueba $\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}$ se realiza mediante la definición de límite de la derivada. Aquí, vamos a demostrar la derivada de cualquier logaritmo arbitrario con respecto a su argumento x. $\frac{d}{dx} \log_a(x) = \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(x+h)-\log_a(x)}{h}$

$\frac{d}{dx} \log_a(x) = \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(\frac{x+h}{x})}{h}$

$\frac{d}{dx} \log_a(x) = \lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\log_a(1+\frac{h}{x})$

Dejar $h=x/n$ entonces como $h\to 0$ tenemos $n\to\infty$ . La sustitución crea:

$\frac{d}{dx} \log_a(x) = \lim_{n\to \infty}\frac{n}{x}\log_a(1+\frac{1}{n})$

Factorización de constantes y funciones continuas independientes de $n$ : $\frac{d}{dx} \log_a(x) = \frac{1}{x}\log_a\lim_{n\to \infty}(1+\frac{1}{n})^n$

Por la definición REAL de e, tenemos $\frac{d}{dx} \log_a(x) = \frac{1}{x}\log_a(e)$

Esta es una verdad general para cualquier tronco. Si dejas que $a=e$ entonces $\frac{d}{dx} \ln(x) =\frac{1}{x}\log_e(e) = \frac{1}{x}$ . Es por ello que $e$ tiene especial importancia para el cálculo.

Y por el teorema general del cálculo, también tenemos la integral, $\ln(x) = \int_1^x \frac{1}{t} dt$ . Esta es la regla inversa.

Demostrando que $\frac{d}{dx}e^x =e^x$ es tan fácil como dejar que $y=e^x$ y evaluar $\frac{d}{dx}\ln(y) = \frac{d}{dx}x$ utilizando la regla de la cadena. Se cae de forma trivial.