Si la derivada es$0$, entonces$f$ es constante en un espacio de banach

Question

Mi pregunta es simple. Tomar una función derivable $f: U \subset \mathbb{E} \rightarrow \mathbb{F}$ donde $\mathbb{E}, \mathbb{F}$ son espacios de banach y $U$ es un abierto conectado subconjunto de $\mathbb{E}$. Si $f'=0$ $f$ constante?

Mi pregunta viene de la analógica hecho en $\mathbb{R}^n$. La manera de ver la prueba de este en $\mathbb{R}^n$ está demostrando que es localmente constante, y para ello tengo que hacer una "coordenadas" ruta de un punto a otro en el barrio y en uso de las derivadas parciales se $0$ a concluir, pero no puedo pensar en una manera de generalizar este.

Answer 1

Aquí es un esquema de una prueba (que parece correcto para mí): el Primer espectáculo es localmente constante y, a continuación, utilice el hecho de que $U$ está conectado. Elige algún punto de $y\in U$ y tomar algún punto de $x$ en algunos bola centrada en$y$, que está contenida en $U\,.$ También tomar algunas $x^*\in \mathbb{F}^*.$ $x^*[f((1-t)x+t(y-x))]$ puede ser considerado como una función de $[0,1]$ $\mathbb{R}$así que usted puede utilizar el resultado de un análisis dimensional que $f'=0\implies f=$const., combinado con el hecho de que el espacio dual de un espacio de Banach siempre separa los puntos en que $f$ es localmente constante.

Answer 2

En espacios de Banach que todavía tenemos el concepto de derivadas direccionales (más caprichosamente llamado la Gâteaux derivados). De la misma manera como en dimensiones finitas, se puede demostrar que si la Fréchet derivada es cero en un punto, entonces la Gâteaux derivados en ese punto es cero en cada dirección. Desde bolas en espacios de Banach son convexas, aplicando el teorema fundamental del cálculo para una variable de Banach de funciones con valores a la Gâteaux derivados mostrará $f$ a ser localmente constante.