Ajuste del Lema es:
Deje $M$ $N$ ser normal nilpotent subgrupos de un grupo de $G$. Si $c$ $d$ son los nilpotent clases de $M$$N$, $L = MN$ es nilpotent de clase en la mayoría de las $c+d$.
Hay un ejercicio en Derek J. S. Robinson, Un Curso en la Teoría de la Grouops:
Si $M,N$ son no triviales normal nilpotent subgrupos de un grupo, demostrar que $\zeta(MN) \neq 1$. Por lo tanto dar una alternativa a prueba de Ajuste del Teorema de grupos finitos.
La prueba de la primera parte es fácil. Como $M$ es trivial y nilpotent, el centro de $M$ es trivial. Supongamos que $a \in \zeta(M)$, $a \neq 1$, si $a$ conmutan con todos los elementos de a$N$,$a \in \zeta(MN)$$\zeta(MN) \neq 1$. Si hay algo de $b \in N$, de tal manera que $aba^{-1}b^{-1} \neq 1$,$aba^{-1}b^{-1} \in \zeta(MN)$, e $\zeta(MN) \neq 1$.
En el libro, la prueba para el caso general de Fittng del teorema demuestra por inducción en $i$ que $\gamma_i L$ es el producto de todos los $[X_i, \cdots, X_i]$ $X_j = M$ o $N$. El hecho de que $\zeta(MN) \neq 1$ no se aplica obviamente en esta prueba. ¿Qué puedo hacer con este hecho al $M$ $N$ son finitos?
Muchas gracias.
