Dada las siguientes ecuaciones cuadráticas:
¿Es posible determinar cuántos valores de n generarán un cuadrado perfecto? ¿O mejor aún, es posible determinar qué valores de n generarán un cuadrado perfecto?
Puede completar el cuadrado. Para el tercer ejemplo, 4n2+24n−3=(2n+6)2−39.4n2+24n−3=(2n+6)2−39. (n+1)2−n2=2n+1(n+1)2−n2=2n+1, esto no puede ser un cuadrado perfecto para cualquier 2n+62n+6 mayor de 2020, dejando sólo el %#% posibilidades de #%.
Nosotros podemos hacer mejor. Desea 77 (2n+6)2−39=p2.(2n+6)2−39=p2. se trata. Habrá una solución para cada forma factor 39=(2n+6−p)(2n+6+p)39=(2n+6−p)(2n+6+p) en dos números. Debido a la 3939 necesita la suma de los números para ser incluso, que será válido para números impares como 2n,2n, y va a ser el caso de sus otros tres ejemplos.
Sugerencia: Vamos a reorganizar la primera ecuación:
4n2−4n+132n+1−132=(2n−1)2+132(n−1)=m24n2−4n+132n+1−132=(2n−1)2+132(n−1)=m2 ahora fácilmente podemos ver que n−1n−1 tiene que ser 00 % que n=1n=1
Para la segunda ecuación podemos escribir:
4n2+4n+12n+1−12=(2n+1)2+12(n−1)=m2⇒n=14n2+4n+12n+1−12=(2n+1)2+12(n−1)=m2⇒n=1
Para la tercera ecuación:
4n2+20n+4n+25−28=(2n+5)2+4(n−7)=m2⇒n=74n2+20n+4n+25−28=(2n+5)2+4(n−7)=m2⇒n=7
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