Identidad geométrica, no puede mostrar equivalencia utilizando identidades trigonométricas

Question

claramente

ps

expandiendo y utilizando la sustitución Weierstrass encontramos que

ps

si usamos la ley de los cosenos, con$$(x+a \cos\theta)^2+(y-a \sin\theta)^2=b^2$

ps

¿Hay alguna forma de pasar de una expresión a la otra usando identidades trigonométricas?

Answer 1

Pruebe esto:$$(x+a \cos\theta)^2+(y-a \sin\theta)^2=b^2$ $ Trabajando a través de get get$$x\cos\theta-y\sin\theta=\frac {(b^2-a^2-y^2-x^2)}{2a}$ $

Ahora usa$x^2+y^2=c^2$ en ambos lados y establece$\phi=\arctan \frac y x$. Divida entre$c$ para obtener:$$\cos \phi \cos \theta - \sin\phi\sin\theta =\cos(\theta+\phi)=\frac {(b^2-a^2-c^2)}{2ac}$ $ y puede hacerlo desde allí.

Answer 2

Podrías mirar los ángulos en el vértice entre los lados$c$ y$a$. El arctan proviene del triángulo$x,y$ y los arccos del$abc$ uno.