Por qué es mal definida $x^{p/q}$ $x<0$.

Question

<blockquote> <p>Esto es probablemente un duplicado pero no puedo encontrar, si usted me avisan y lo borro.</p> </blockquote> <p>Por qué es mal definida $x^{p/q}$ $x<0$.</p> <p>Puedo ver que es, $(-1)^{1/3} \neq (-1)^{2/6}$, pero <strong>¿por qué</strong>?</p> <p>Definir $x^{p/q}=\sqrt[q]{x^p}=(\sqrt[q]{x})^p$.</p> <p>También cómo este cálculo afectan, en los ejemplos qué,</p> <p>$$\int_{-1}^{0} \sqrt[3]{x} dx ~~~~?= ~~~~\int_{-1}^{0} x^{1/3} dx$$</p> <p>$\frac{d}{dx}(\sqrt[3]{x})$ $x=-1$.</p>

Answer 1

$$y=x^{p/q}$$ se entiende como una solución de

$$y^q=x^p,$$ which makes sense when the sign are compatible. For negative $x$, this excludes odd $p$ with even $p$.

La ambigüedad surge cuando la fracción $p/q$ puede ser simplificado por $2$, como

$$\frac{2p}{2q}=\frac pq,$$ y a pesar de que la primera fracción es aún/aun (dando una potencia positiva), el segundo puede ser par/impar (indefinido) o par/impar (negativo).

Una mejor definición podría ser la de hacer cumplir la simplificación de la fracción,

$$y^{q/\gcd(p,q)}=x^{p/gcd(p,q)}$ $ , que evita la ambigüedad.

---

Todos los casos pueden ser resumidos por

• $(-1)^{1/1}\to -1$

• $(-1)^{1/2}\to \text{undefined}$

• $(-1)^{2/1}\to +1$

• $(-1)^{2/2}\to(-1)^{1/1}=-1$

---

Sin este convenio, la "natural" de la regla

$$x^{p/q}=\sqrt[q]{x^p}={\sqrt[q]x}^p$$ no tiene.

Answer 2

Hay algunos bien conocidos ambigüedades en la definición de decir $(-1)^{1/2}$ debido a que hay dos candidatos, $i$$-i$, así como hay dos candidatos para $2^{1/2}$ y por convención se elige la positiva. Sin embargo, podemos adoptar un convenio mediante el cual el candidato con el positivo de la parte imaginaria es elegido, y así definir $(-1)^{1/2}=i$. A partir de ahí podemos ir a $(-1)^{n/2}$ para los números enteros $n$.

Es más difícil ampliar la convención, pero incluso para $m>2$, podemos decir que el $(-1)^{1/m}=\exp(\pi i/m)$. Si $m$ es impar, podemos adoptar la misma convención, pero es un poco contradictorio, ya que $(-1)^{1/m}$ no se $-1$ como esperamos, por ejemplo, $(-1)^{1/3}$ $\exp(\pi i/3)$ e no $-1$. Alternativamente, podemos decir que el $(-1)^{1/m}=-1$ para todos los impares $m$. Creo que es la dificultad para hacer estos convenios coexistir que es la fuente de las dificultades que ver.

Cuando usted escribe $(-1)^{1/3} \neq (-1)^{2/6}$, supongo que te refieres a usar una definición como la $(-1)^{2/6}=((-1)^{1/6})^2$. Con mi $\exp$ convenio, creo que usted consiga la consistencia, es decir,, $\exp(\pi i/6)^2$ $=\exp(\pi i/3)$ $=(-1)^{1/3}$.