Segundo orden Oda, primera falta derivados

Question

Tengo la siguiente ecuación de orden segundo, donde el derivado de la primera falta y me pide que encuentre su solución general: %#% $ #% no sé cómo solucionarlo. He probado con una substitución de $$6x^{2}yy''=3x(3y^{2}+2)+2(3y^{2}+2)^3$ pero no parece útil...

¿Hay ningún método para este tipo de ecuación whithout $u(x)=3y^{2}+2$?

Answer 1

Esto no es una solución completa, sino una reformulación del problema original que pueda ser útil.

Considerar la función $$z(x) = 3y(x)^2+2.$ $ entonces $$ \begin{align} z' = & 6yy',\ z'' = & 6(y')^2+6yy'', \end{Alinee el} $$ para que tener $$ \begin{align} y^2 = & \frac{z-2}{3},\ (y')^2 = & \frac{(z')^2}{36y^2},\ 6yy'' = & z'' - 6(y')^2\ = & z'' - \frac{(z')^2}{2(z-2)}. \end{Alinee el} $$ por lo tanto, la ecuación puede escribirse como

$$x^2\left(z'' - \frac{3(z')^2}{2(z-2)}\right) = (3x+2)z.$$

Answer 2

Vamos $$ u = 3 y^2 +2, u'= 6 y y' $$

donde los números primos son con respecto a x. Tenemos que resolver

$$ y y''= u/(2 x) + u^3 / (3 x^2) \tag{0} $$

Estropearán antes errónea parte, sustituidos por nuevos derivación. $$ \frac{u'}{6} = \frac{u}{2 x} + \frac{u^3}{3 x^2} ;$$ $$ u' = \frac{u}{ x} ( 3+ 2 \frac{u^2}{x}) ;$$ A menos $3$ está ausente, las variables no son separables. El empleo de tercer grado de sustitución $$ u = \frac{ x^3}{\sqrt{ c -4 x^5/5 }} = 3 y^2 +2 ; $$ es el integrando con la constante arbitraria $c ;$

$$ u = 3 y^2 +2 \tag{1} $$ $$ u' = 6 y y' \tag{2} $$

de $ (1), (2) $

$$ \frac{y}{y'}= \frac{ 2(u-2)}{u'} \tag{3}$$ $$ y \, y'' = \frac{u'}{6} \tag{4}$$

de $(3),(4) $

$$ y =\sqrt{(u-2)/3} \tag {5}$$

$$ y'= \frac {u'/2}{\sqrt{3(u-2)}} \tag {6}$$

Diferenciar el cuadrado de la ecuación de (6) y simplificar

$$ 24 y' y'' = \frac {2 (u-2) u'u''-u'^3}{(u-2)^2} \tag {7} $$

Eliminar $y'$ a partir de (6) y (7)

$$ y''= \frac{\sqrt{(u-2)}}{4 {\sqrt 3}u'} \tag{8}$$

Multiplicar (5) y (8) y simplificar

$$ 12 y y''= 2 u''- \frac{u^{'2}}{u-2} \tag{9}$$

que nos lleva a un segundo orden no lineal de la educación a distancia en $u$$x$.

$$ 2 u''= 12\, (\frac{u}{2 x} + \frac {u^3} {3 x^2} ) + \frac{u'^{2}}{(u-2)} \tag {10}. $$