Estoy leyendo acerca de $L^p$ espacios en esto de libros de google y en la proposición 1.1.4 (página 4) escribe $$ p\int_0^\infty \alpha^{p-1} \int_X \chi_{\{x:|f(x)|>\alpha\}}d\mu(x)d\alpha = \int_X \int_0^{|f(x)|}p \alpha^{p-1}d\alpha d\mu(x) $$ afirmando que "hemos utilizado el teorema de Fubini". Cada versión de Fubini/Tonelli que he visto se supone que ambas medidas son $\sigma$-finito, incluso para los no negativo de funciones, y como lo que yo puedo decir ninguna suposición sobre la $\sigma$-finitud de $\mu$ se hizo aquí. ¿Qué versión de Fubini es este autor la aplicación?
Respuesta
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De hecho, tenemos que trabajar con medidas de $\sigma$-finito con el fin de aplicar el teorema de Fubini. Aunque $\mu$ no es necesariamente $\sigma$ finitos, el conjunto de ${x;|f(x)|>0}$ puede ser escrito como una Unión contable de conjuntos de medida finita. Es decir, ${x;|f(x)|>0}=\bigcup_{n\geqslant 1}{x,|f(x)|\geqslant n^{-1}}$, y $f$ $\mu$-integrable, $\mu({x,|f(x)|\geqslant n^{-1}})$ es finito. Así que podemos trabajar con $X':={x,|f(x)|\geqslant >0}$ con rastro $\sigma$-algebra y medida.
