Demuestra que no hay grupos simples de orden 224.

Question

Demuestra que no hay grupos simples de orden 224.

Dejemos que $G$ sea un grupo finito tal que $\vert G \vert = 224 = 2^5 \cdot 7$ . Sabemos que $n_2 \mid 7$ y $n_2 \equiv 1 \pmod 2$ y sabemos que $n_7 \mid 2^5$ y $n_7 \equiv 1 \pmod 7$ . Así que podemos decir $n_2 = 1$ o $7$ y $n_7 = 1$ o $8$ . Supongamos, por el contrario, que $G$ es un grupo simple. Entonces $n_7 = 8$ y $n_2 = 7$ . Así que podemos decir que hay $8 \cdot 6 = 48$ elementos de orden 7 y $7 \cdot 31 = 217$ elementos de orden 2, lo que nos da 265 elementos, 266 incluyendo la identidad, lo que contradice la cardinalidad del grupo. Por lo tanto, $G$ no es un grupo simple ya que debemos tener al menos uno de $n_7$ o $n_2$ siendo 1.

¿Es correcto este planteamiento? específicamente como dije que había $7 \cdot 31$ ¿elementos de orden 2? He visto algunos planteamientos similares en Internet y he pensado que funcionaría bien para este problema. ¿Es correcto?

Gracias.

Answer 1

Lo siguiente demuestra que hay debe existe un Sylow normal $\,2-$ subgrupo de orden $\,32\,$ ,

Supongamos que hay $\,n_2=7\,$ Sylow $\,2-$ subgrupos en $\,G\,$ . Haciendo $\,G\,$ actúan sobre el conjunto de estos subgrupos de Sylow por conjugación (Mitt escribió sobre esto pero sobre el conjunto de los otros subgrupos de Sylow, lo que no da ninguna contradicción), obtenemos un homomorfismo $\,G\to S_7\,$ que debe es inyectiva si $\,G\,$ es simple (¿por qué?).

Pero esto no puede ser ya que entonces incrustaríamos $\,G\,$ en $\,S_7\,$ lo cual es imposible ya que $\,|G|\nmid 7!=|S_7|\,$ (¿por qué?)

Answer 2

Esa parte es falsa. De $n_7=8$ , se tienen ocho subgrupos de orden 7. Cada uno de estos subgrupos es cíclico de orden primo, por lo que los seis elementos no triviales deben ser de orden 7, dando así $8\cdot 6=48$ elementos de orden 7. (También hay que comprobar que son disjuntos). Pero para el subgrupo Sylow 2, son de orden 32. No hay ninguna razón para que los elementos no triviales sean de orden 2.

Sugerencia de otro enfoque: Considere la acción de conjugación de $G$ en los ocho subgrupos de Sylow-7. Esto da un homomorfismo inyectivo de $G$ a $S_8$ .