Primos como cocientes

Question

Hago esta pregunta basado en un comentario de David Speyer en otra pregunta. Lo de los números primos son de la forma $$ \frac{p^2-1}{q^2-1} $$ donde $p$ $q$ son primos?

El primer presidente no al parecer de esta forma es de 17. La ecuación de Diophantine $$ p^2-17q^2+16=0 $$ tiene soluciones siguientes lineal de la recurrencia de la relación que no tiene primos en los primeros 1000 (sólo $(\pm1, 1)$ semillas pueden contener números primos). Pero tal vez hay una mejor manera de ir sobre esto?

Answer 1

Creo que para la ecuación:

$$\frac{x^2-1}{y^2-1}=k$$

Es necesario registrar las decisiones. Vamos a utilizar las soluciones de la ecuación de Pell.

$$p^2-ks^2=1$$

Y entonces las soluciones son de la forma:

$$x=-p^2+2kps-ks^2$$

$$y=p^2-2ps+ks^2$$