¿Hay un $G_\delta$ con medida positiva y vacío Interior?

Question

Es como en el título. $G_\delta\subset\mathbb{R}^n$ con medida de Lebesgue.

Gracias por cualquier ayuda

Answer 1

Sí: cualquier conjunto de Cantor grasa en $\Bbb R$ es un ejemplo, ya que todos los conjuntos cerrados en $\Bbb R$ $G_\delta$'s.

Answer 2

Sí. $\mathbb R\setminus \mathbb Q$.

Answer 3

Sí.

Por $n\in\mathbb N$ $F_n = {x\in(0,1)|\;\exists m\in\mathbb Z:x=\frac{m}{n}}$ y $U_n=(0,1)\setminus F_n$. El % de sistemas $Un$están abierto y tienen medida $1$, pero la intersección $A=\bigcap{n=1}^{\infty}Un$ es simplemente el conjunto de todos los números irracionales en $(0,1)$. Por lo tanto es un $G\delta$ con medida $1$ y vacío interior.