demostrar que $(a-b)(c-d)+(a-c)(b-d)+(d-a)(b-c) \geq 0$.

Question

<blockquote> <p>Que $a,b,c$ y $d$ ser números verdaderos con $a+d = b+c$, prueban que $(a-b)(c-d)+(a-c)(b-d)+(d-a)(b-c) \geq 0$.</p> </blockquote> <p>¿Yo debo sustituir en las condiciones dadas para $a$ y $b$, a ver si las cosas se simplifican? ¿O debo usar la desigualdad media aritmética geométrica?</p>

Answer 1

Fijate que

Answer 2

Escriba $a=x+y,b=x+z,c=x-z,d=x-y$ $x,y,z\in\Bbb R$ (ejercicio: ¿por qué es esto posible?). Entonces su desigualdad es $$(y-z)(y-z)+(y+z)(y+z)+(-2y)(2z)\geq 0$ $ después de expandir te debe ser capaz de terminar esto.