Un grupo de Lie que tiene una inmersión en $\mathrm{GL}(n,\Bbb R)$ ¿pero sin incrustar?

Question

Pregunta: ¿Existe un grupo de Lie $G$ que admite una inmersión suave $$i:G\longrightarrow\mathrm{GL}(n,\Bbb R)$$ para algunos $n\in\Bbb N$ pero no s $$j:G\longrightarrow\mathrm{GL}(m,\Bbb R)$$ para cualquier $m\in\Bbb N$ ? (Aquí, $i$ y $j$ también deben ser homomorfismos de grupo).

El ejemplo habitual de un grupo de Lie que está inmerso pero no embebido es el grupo $\Bbb R$ con la inmersión $$i:\Bbb R\longrightarrow\mathrm{GL}(2,\Bbb C),\quad t\longmapsto\begin{pmatrix}e^{it} & 0 \\ 0 & e^{i\alpha t}\end{pmatrix}$$ para $\alpha$ irracional. El llamado curva densa en el toroide . Sin embargo $\Bbb R$ incrustar en $\mathrm{GL}(n,\Bbb R)$ pero de una manera diferente: $$j:\Bbb R\longrightarrow \mathrm{GL}(2,\Bbb R),\quad t\longmapsto\begin{pmatrix}1 & t \\ 0 & 1\end{pmatrix}.$$

También hay grupos bien conocidos que no tienen homomorfismo inyectivo en $\mathrm{GL}(n,\Bbb R)$ pero tampoco se sumergen.

Answer 1

Existen grupos contables (por tanto, grupos de Lie) $G$ tal que existe una representación lineal fiel de $G$ pero no existe una incrustación lineal fiel de $G$ . Por ejemplo, el grupo soluble en 2 pasos $$ G=BS(2,1)=< a,b: aba^{-1}=b^2> $$ admite un homomorfismo inyectivo hacia $SL(2,R)$ pero todo homomorfismo inyectivo $f: G\to GL(n,R)$ tendrá una imagen no cerrada y, por lo tanto, no será una incrustación. La razón de esto último es que un ebmedding discreto $f: G\to GL(n,R)$ aterrizará (hasta la conjugación) en el grupo $B$ de matrices triangulares superiores, pero todo subgrupo discreto de $B$ es policíclico (G.D. Mostow, On the fundamental group of a homogeneous space, Ann. of Math. (2) 66 (1957), 249-255), mientras que $BS(2,1)$ no es policíclico.

Answer 2

SUGERENCIA:

Se podría considerar la cobertura simplemente conectada de $SL(2,\mathbb{R})$ . También hay otros.