Acercamientos geométricos al grupo de clase de anillos de Dedekind

Question

Yo premisa de que no sé nada acerca de fractionary ideales y los grupos de la clase de dominios de Dedekind. Pero sé que la teoría de los divisores de regular los esquemas, como los tratados en Hartshorne. Lo que me gustaría saber es si existen algunos enfoques geométricos para calcular la clase de grupo de un dominio de Dedekind.

De hecho, para una variedad algebraica $X$, el método usual consiste en elegir un subconjunto abierto $U$ $X$ tal que es fácil probar que $Cl \ U = 0$ y, a continuación, encontrando $1$-codimension puntos de $X \setminus U$. Estos puntos son los generadores del grupo $Cl \ X$ y, con funciones racionales, se encuentra el de las relaciones entre ellos.

Pero, ¿qué debo hacer para calcular el grupo de clase de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, por ejemplo? Para mí no es fácil elegir un afín subconjunto que es el espectro de una UFD. (Sé que sólo$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}[i]$.)

Answer 1

Supongo que la analógica para el número de campos es el siguiente. El Minkowski obligado proporciona, para cada campo de número de $K$, un número de explícito

$$M_K = \sqrt{|D_K|} \left( \frac{4}{\pi} \right)^s \frac{n^n}{n!}$$

tal que $\text{Cl}(\mathcal{O}_K)$ es generado por el primer ideales de norma en la mayoría de las $M_K$, donde

• $D_K$ es el discriminante,
• $s$ es el número de pares de complejos incrustaciones,
• $n = [K : \mathbb{Q}]$.

En particular, se deduce que uno puede escribir una lista explícita $S$ de los números primos (los números primos menores o iguales a $M_K$) tal que $S^{-1} \mathcal{O}_K$ ha trivial grupo de clase (recordemos que la localización de un dominio de Dedekind es un dominio de Dedekind). La inclusión $\text{Spec } S^{-1} \mathcal{O}_K \to \text{Spec } \mathcal{O}_K$ es el análogo de la inclusión de la open subconjunto $U$ en la función de campo de caso. Entonces, como usted dice, la búsqueda de funciones racionales es cómo uno encuentra en las relaciones entre los generadores.

Para $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ tenemos $|D_K| = 20, s = 1, n = 2$, por lo que el Minkowski obligado es $\frac{4 \sqrt{5}}{\pi} < 3$. De ello se desprende que el grupo clase se genera por los ideales de la norma en la mayoría de las $2$, tan sólo tenemos que considerar el primer ideales por encima de $2$. Desde $x^2 + 5 \equiv (x + 1)^2 \bmod 2$, tenemos

$$(2) = P^2$$

para algunos el primer ideal $P$ norma $2$, por lo tanto el grupo de clase es trivial o el grupo cíclico $C_2$ generado por $P$, y por la inspección de $\mathcal{O}_K$ no tiene factorización única, así que es la última. (Una más generalizables al final de este argumento es que el $\mathcal{O}_K$ no contiene un elemento de norma $2$.)

Answer 2

Un punto a tener en cuenta es que por lo general no es posible elegir un subconjunto abierto $U$ de Espec $A$, para un dominio de Dedekind $A$, por lo que el $Cl U$ es trivial. De hecho, esto es posible si y sólo si $Cl A$ es finitely generado. (El complemento de $U$ en Espec $A$ va a ser entonces un conjunto finito de generadores de $Cl A$.)

Por ejemplo, si $A$ es afín anillo de una curva suave sobre $\mathbb C$ cuyo finalización positiva de género, por ejemplo,$A = \mathbb C[x,y]/(y^2 - x^3 - x)$, a continuación, $Cl A$ es infinitamente generado, y así que no hay tal $U$ existe.

Si $Cl A$ es finitely generado, entonces, el problema de encontrar $U$ es equivalente (como ya se nota en tu pregunta) para el problema de encontrar los generadores de $Cl A$, y creo que es bastante estándar para hacerlo a través de la altura de los límites/geometría de los números, como en el enfoque a través de Minkowski que Qiaochu sugiere.

Para un relacionados, pero diferentes, aritmética contexto, se puede considerar que la prueba de la Mordell--teorema de Weil y el problema de encontrar explícitamente generadores para el grupo de puntos racionales de una curva elíptica o abelian variedades --- aquí se utiliza la altura de los argumentos. Para un geométricas analógica, se puede considerar el Nerón--Severi Teorema de la Base, sobre la generación finita de la Nerón--Severi grupo. En uno de Lang del libro, presenta un unificada cuenta de varios de estos teoremas.

Tenga en cuenta que la conexión con el Teorema de la Base es más que superficial: si $X$ es un suave y variedad proyectiva, entonces Pic $X$ será finitely generado si y sólo si el componente conectado es trivial (por lo que el Pic $X$ coincide con la Nerón--Severi grupo de $X$). A continuación, el problema de la informática un conjunto finito de generadores (que es el mismo que el cálculo de una abierta $U$ de manera tal que el Pic $U$ es trivial) es el problema de hacer el Teorema de la Base efectiva para $X$. No sé cómo hacer esto en la práctica, pero me sorprendería si es fácil encontrar a $U$ simplemente por inspección en general.

E. g. si $X$ K$3$ de la superficie, entonces sabemos que el Pic $X = NS(X)$, pero el rango de Pic $X$ puede ser tan alta como $20$. Es posible que simplemente por inspección para encontrar una $U$ dentro $X$ con trivial Pic? Me imagino que en la práctica el uso de algún tipo de geométrica analógica de un Minkowski obligado a encontrar los generadores para el Pic $X$ --- es decir, algunos efectivos de la versión del Teorema de la Base de --- y, después de haber hecho esto, uno podría calcular $U$ si uno estaba tan inclinado. (En otras palabras, la informática, la Pic $X$ vendría primero, y de computación, $U$ vendría segundo).

Supongo que puedo resumir este post con una pregunta de mi propia: ¿de verdad hay que muchos de los $U$ por lo que es fácil demostrar que $Cl U = 0$?