Es $0$ ¿un infinitesimal?

Question

Para la definición de Infinitesimal, wikipedia dice

En el lenguaje común, un objeto infinitesimal es un objeto que es más pequeño que cualquier medida factible, pero no de tamaño cero; o bien, tan pequeño que no puede distinguirse del cero por ningún medio disponible disponible.

MathWorld dice

Un infinitesimal es una cantidad que es explícitamente distinta de cero y sin embargo menor en valor absoluto que cualquier cantidad real.

PERO me encontré con alguna definición de Infinitesimal en los libros de texto dice

Si $\lim_{{{x}\to{x}_{{0}}}} f{{\left({x}\right)}}={0}$ , entonces llamamos a $f(x)$ es un infinitesimal cuando ${x}\to{x}_{{0}}$ .

Encontré que la definición de los libros de texto entra en conflicto con las dos definiciones anteriores..

Obviamente, $f(x)=0$ satisfacen la definición de los libros de texto, ¿entonces podemos llamar a 0 un infinitesimal?

Answer 1

$0$ es infinitesimal.

El lenguaje natural es una mala referencia para las definiciones matemáticas; está "optimizado" para transmitir rápidamente el significado en entornos "naturales", no para expresar las cosas con precisión. Hay todo tipo de convenciones, como que si alguna vez escuchas a alguien hablar de un "número pequeño", se supone que debes asumir que hay una buena razón para usar esa frase en lugar de "cero", y por lo tanto debes asumir que el número es, de hecho, distinto de cero, a pesar de que el cero es un número pequeño.

Para un ejemplo no numérico de este fenómeno, si te dijera que vivo cerca de París, deducirías que no vivo en París.

Teniendo esto en cuenta, no me sorprende que el Inglés El significado de infinitesimal excluye el cero.

Sin embargo, eso es una mala definición matemática. El uso matemático típico de infinitesimal es en un sentido en el que se incluiría el 0; por ejemplo, en el análisis no estándar, si $f$ es una función continua estándar con $f(0) = 0$ entonces nos gustaría decir " $f(x)$ es infinitesimal siempre que $x$ es infinitesimal". Poder decir eso requiere que consideremos $0$ para ser infinitesimal; si no lo hiciéramos, tendríamos que decir algo más incómodo, como " $f(x)$ es infinitesimal o cero siempre que $x$ es infinitesimal".

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La definición que mencionas de tu libro de texto no tiene realmente sentido cuando se toma literalmente, al menos cuando se saca de contexto como esta.

Answer 2

El único contexto que se me ocurre en el que un infinitesimal tiene sentido es en un formalización del análisis no estándar . En este contexto,

$\epsilon \in {}^*\mathbb{R}$ se llama infinitesimal si $|\epsilon| < r$ para todos los números reales positivos $r$ .

El conjunto de infinitesimales $I$ es un ideal en el anillo de números hiperreales finitos. Modificando por el ideal $I$ se obtiene el conjunto original de números reales $\mathbb{R}$ . De hecho, lo importante parte estándar es el homomorfismo natural de anillo desde los hiperreales finitos a los reales inducido al tomar este cociente.

Todos los ideales contienen $0$ Así que en este contexto uno siempre quiere $0$ para ser infinitesimal. Además, la mayoría de las definiciones que implican infinitesimales (por ejemplo, $f(x) - f(a)$ es infinitesimal siempre que $x - a$ es infinitesimal) requieren que $0$ es infinitesimal. En los casos en que no queremos incluir $0$ deberíamos pedir explícitamente un infinitesimal no nulo .

Answer 3

Que $\varepsilon$ es un infinitesimal significa que la suma $$ |\varepsilon|+\cdots+|\varepsilon| $$ sigue siendo inferior a $1$ no importa lo grande que sea el número finito de términos que se añaden.

Según esa definición, $0$ es un infinitesimal. Pero el término rara vez se utiliza, excepto cuando se habla de infinitesimales no nulos.

Answer 4

Según la mayoría de los diccionarios y en el contexto cotidiano, infinitesimal sólo significa "extremadamente pequeño".

Pero en matemáticas, el significado de "infinitesimal" depende del contexto. Se utiliza sobre todo para el concepto de Límites . Al escribir $x \to 0$ uno siempre significa que el valor de $x$ son menores que cualquier otro número real. Aquí, el valor de $x$ se acerca tanto a cero que no podemos diferenciar con el cero.

Como estos números (infinitesimales) son muy pequeños que la mayoría de los números reales pero no son iguales a cero, estos números entran en una categoría única de números reales "Números Hiperreales" que tienden a cero o al infinito.

Así que, la respuesta es tal vez Sí .

Answer 5

Wikipedia y Mathworld son correctas, y la definición del libro de texto es incorrecta y sin sentido. Para qué valores específicos $x$ la definición del libro de texto afirma que $f(x)$ es un infinitesimal? No. Sólo dice

cuando $x\to x_0$

que no dice nada en este contexto.