$V_m=$Homogéneo polinomios en la variable compleja con total grado de $m$,
Deje $U\in SU(2)$ es sólo lineal mapa en $\mathbb{C}^2$, Definir una Transformación Lineal $\Pi_m:V_m\rightarrow V_m$ $[\Pi_m(U)f](z)=f(U^{-1}z)$ donde $f(z)=a_0z_1^m+a_1z_1^{m-1}z_2+\dots +a_mz_2^m$, $z=(z_1,z_2)\in\mathbb{C}^2$
La representación es el mapa $\Pi_m: SU(2) \to GL(V_m)$ donde para $U \in SU(2)$, $\Pi_m(U)$ es la transformación que se lleva a $f \in V_m$$f \circ U^{-1}$, es decir, $ (\Pi_m(U)(f))(z) = f(U^{-1}(z))$. Tenga en cuenta que si $f$ es un polinomio homogéneo si $f(z) = z_1^{m_1} z_2^{m_2}$$U^{-1} = \pmatrix{a & b\cr c & d\cr}$, $f \circ U^{-1} = (a z_1 + b z_2)^{m_1} (c z_1 + d z_2)^{m_2}$.
Ahora quiero calcular el correspondiente Mentira Álgebra Representación $\pi_m$, de Acuerdo a la definición puede ser calculada como $$\pi_m(X)=\frac{d}{dt}\Pi_m(e^{tX})|_{t=0}$$ donde $$X=\begin{pmatrix}X_{11}&X_{12}\\X_{21}&X_{22}\end{pmatrix}$$
es algo de la matriz. Por lo $(\pi_m(X)f)(z)=\frac{d}{dt}f(e^{-tXz})|_{t=0}$, tomé una curva de $z(t)\in\mathbb{C}^2$ $z(t)=e^{-tX}z$, $z(t)=(z_1(t),z_2(t))$ por Chainrule $\pi_m(X)f=\partial f/\partial z_1 dz_1/dt+\partial f/\partial z_2 dz_2/dt|_{t=0}$ Cómo siempre $dz/dt|_{t=0}=-Xz$, por lo que podría cualquiera me diga lo que será el próximo par de pasos para que yo pueda obtener la representación de esta Mentira de álgebra? Gracias por la ayuda!
