Mostrar que $f$ se desvanece de forma idéntica.

Question

Deje $f$ ser toda la función. Suponga que $\mid f(1/n)\mid\le e^{-n}$ todos los $n\in \mathbb{N}$. Mostrar que $f$ se desvanece de forma idéntica.

Answer 1

Tomando el límite cuando $n\to\infty$, usted encontrará que $f(0)=0$. Si $f$no es idéntica a cero, se puede escribir $$f(z)=\sum_{k=n}^\infty a_kz^k$$ with $n\ge1$ and $a_n\ne0$ (I trust you know why). Now consider $$\lim_{z\to0}\frac{f(z)}{z^n}$$ en general, y comparar con el caso especial del $z=1/n$$n\to\infty$.