¿Cuál es la expresión algebraica de la estructura de orden superior jet espacios?

Question

En primer lugar excusa cualquier descuido de aquí, yo no soy un matemático mediante la capacitación de manera que he tenido un tiempo difícil de formalizar mi pregunta y seguimiento de material pertinente.

Considere la posibilidad de un punto en un suave colector, $p \in M$. Aproximaciones lineales de las funciones que pasan por ese punto lapso de primer orden jet espacio, $J_p$ que puede ser interpretado como lineal mapas sobre el espacio de la tangente en ese punto, $T_p M$. Composiciones de estas funciones se manifiesta en una sencilla composición de álgebra de los chorros, donde en coordenadas locales de la correspondiente Jacobians se multiplican juntos.

Multiplicando la composición Jacobiana por un elemento del espacio de la tangente da derivadas direccionales. Esta acción es exactamente la acción de primer orden a modo de avance automático de la diferenciación. También podemos tomar la adjoint de esta composición Jacobiana y se multiplica por un elemento de la cotangente espacio para dar a los gradientes. Esta es igualmente la acción de primer orden inverso automático de modo de diferenciación. Todo a la primera orden es maravilloso.

Mi pregunta se refiere a lo que sucede, por orden superior, de aproximaciones a las funciones y la estructura sintáctica de la correspondiente orden superior chorros.

En la mayor órdenes de las derivadas parciales de cada uno de los pedidos en general la mezcla cuando dos aviones se compusieron juntos, y, a continuación, este compuesto actúa sobre un producto directo de orden superior de la tangente paquetes. Por ejemplo, en segundo orden el mapa compuesto come dos elementos de primer orden el espacio de la tangente, $u_1, u_2 \in T_p M$ y un elemento de $v \in T^{2}_p M$ y devuelve dos de primer orden derivadas direccionales, $J \cdot u_1$$J \cdot u_2$, y uno de segundo orden direccional derivados, $u_1^{T} \cdot H \cdot u_2 + J v$ donde $H$ es el de Hesse. Es evidente que hay algunos interesantes estructura aquí donde la imagen de la de segundo orden chorros parece descomponer en $T_p M \otimes T_p M \otimes T^{2}_p M$ pero mis matemáticas no es lo suficientemente bueno para trabajar la teoría general o encontrar el derecho de referencias. ¿Alguien sabe qué tipo de estructura algebraica es en el trabajo aquí, ya sea para los chorros, o la acción de los chorros, o puede sugerir referencias apropiadas?

El seguimiento inmediato es entonces, ¿cómo esta estructura admitir adjoints? Si el de arriba te da de orden superior, modo de avance automático de la diferenciación, ¿cómo podríamos ser capaces de tomar el adjunto de varios subespacios de chorros (o jet tangente productos) para permitir mayor orden inverso automático de modo de diferenciación?

Mediante orden superior doble de los números que he trabajado a cabo el segundo y de tercer orden comportamiento de forma heurística en el Capítulo 1 de https://github.com/stan-dev/nomad/tree/master/manual (de nuevo, por favor, disculpe la matemática descuido o mala notación), pero me encantaría tener una mejor geométrica/algebraica de la estructura de lo que está pasando.

Gracias!

Answer 1

Después de la fijación de un sistema de coordenadas, $k$-jets puede ser identificado con (tuplas de) los polinomios de grado $k$ - $k$- jet de $f$ está representado por el $k$-ésimo orden de los polinomios de Taylor de $f$. La composición de $k$-jets es simplemente la composición de los correspondientes polinomios de mod $(X^i)^{k+1},$ es decir $(P \circ Q)(X)$ es sólo $P(Q(X))$ trunca a fin de $|X|^k.$

Como un ejemplo, supongamos que queremos diferenciar una composición $M \overset{f}\to M\overset \phi \to\mathbb R$ a un punto fijo de $f$. La cadena de productos y de reglas nos dice que debemos terminar con \begin{align} \partial_i(\phi \circ f) &=\partial_k \phi\,\partial_i f^k, \\ \partial_i \partial_j(\phi \circ f)&=\partial_k \phi\,\partial_i\partial_jf^k+ \partial_k \partial_l \phi\,\partial_if ^k\,\partial_jf^l. \end{align} (estoy usando el convenio de sumación de Einstein.) El segundo orden de los polinomios de Taylor de estos dos mapas nos dan las coordenadas de los representantes de sus 2 chorros: \begin{align}P(X)=j^2\phi(X) &= \phi_0 + \partial_k \phi \, X^k+\frac 1 2 \partial_k \partial_l \phi\,X^kX^l,\\ Q(X)=j^2 f(X)^k &= \partial_i f^k\,X^i+\frac 1 2 \partial_i \partial_j f^k\,X^iX^j. \end{align}

Ahora sólo tenemos que sustituir $Q$ a $P$, lo que da \begin{multline}P(Q(X)) = \phi_0 + \partial_k \phi\,(\partial_i f^k X^i+\frac 1 2 \partial_i \partial_j f^k X^i X^j)\\ + \frac 1 2\partial_k \partial_l \phi\,(\partial_i f^k X^i+\frac 1 2 \partial_i \partial_j f^k X^i X^j)(\partial_a f^l X^a+\frac 1 2 \partial_a \partial_b f^l X^a X^b). \end{multline} Expansión, truncando a fin de $|X|^2$ y la recolección de los coeficientes de $X^i$ nos encontramos con $$ j^2(\phi \circ f)(X)=\phi_0 + \partial_k \phi\, \partial_i f^k\,X^i + \frac12(\partial_k \phi\,\partial_i\partial_jf^k + \partial_k\partial_l\phi\,\partial_i f^k \partial_j f^l)X^iX^j.$$ la Lectura de los coeficientes de este polinomio de Taylor vemos que hemos llegado a la respuesta correcta.

Este "truncado polinomio álgebra" es un poco raro, no existe una ley para ampliar la composición de la $P\circ(Q+R),$, por lo que no es un anillo o algo tan bonito. (De hecho, en el contexto general de colectores, adición o multiplicación de estos polinomios no se traduce en ningún sentido de la operación con aviones a reacción.) Sólo la he visto estudiado en el contexto de los chorros/los polinomios de Taylor. Mucha de la atención a la gente acerca de los jets, aunque, por lo que no hay escasez de material de lectura! Para una referencia completa, vea la sección 12 (y tal vez 13) de la libre disposición libro Natural de las Operaciones en la Geometría Diferencial.

Tienes razón que podemos representar cualquier jet espacio de tensores: por ejemplo, tenemos la \begin{align}J^2_p(M,N)_q &\simeq L(T_pM,T_qN) \oplus L(\mathrm{Sym}^2(T_p M),T_qN) \\ &\subset (T_p M^* \otimes T_q N)\oplus(T_pM^* \otimes T_pM^* \otimes T_qN).\end{align} Por supuesto, esta identificación oscurece la composición de la estructura y se coordine-dependiente, por lo que aunque es sin duda útil saber, a menudo es más productivo pensar en polinomios. (El polinomio representación es también coordinar dependiente, por supuesto; pero se puede obtener un conocimiento preciso de cómo se transforman mediante chorro de grupos).

Con respecto a adjoints, no estoy seguro exactamente lo que usted desea - tal vez si se le explica lo que usted está buscando más a fondo me podría apuntar en la dirección correcta. La relación entre las velocidades y covelocities no es tan simple en un orden superior - al $k>1$ los espacios de $J^k(\mathbb R,M)$ $J^k(M, \mathbb R)$ incluso no tienen la misma dimensión, por lo que no hay analógica directa de la isomorfismo $$J^1_0(\mathbb R, M)=TM \simeq T^*M = J^1(M,\mathbb R)_0.$$