Es la paradoja de Russell la única posible contradicción con el axioma esquema de comprensión debido a Frege (1893)? $\{x:P(x)\}$

Question

Es la paradoja de Russell la única posible contradicción con el axioma esquema de comprensión debido a Frege (1893)? El axioma que dice que si $\varphi$ es una propiedad, entonces existe un conjunto $Y = \{X: \varphi(X)\}$ de todos los elementos que tienen la propiedad $\varphi$.

Si no, entonces ¿cuáles son otras paradojas que resultan de ese axioma?

Answer 1

No.

La paradoja de Russell miró a $\varphi(x)$$x\notin x$. Pero podemos utilizar cualquiera de las "no puede ser un conjunto de" paradojas.

1. Burali-Forti paradoja, definir un ordinal a ser un conjunto transitivo $A$ tal que $(A,\in)$ es bien ordenado. Esto puede ser expresado en una fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos, y $\{A\mid A\text{ is an ordinal}\}$ no puede ser un conjunto, ya que está bien ordenado por $\in$ y es transitiva, por lo que tendrá que ser un miembro de sí misma y de contradecir la buena ordenación.

2. Cantor de la paradoja deconsiderar sólo $\varphi(x)$ "$x$ es un conjunto", que en realidad es sólo $x=x$ en el contexto de la teoría de conjuntos, donde todo es un conjunto. A continuación, el Cantor de la paradoja dice que no hay bijection entre un conjunto y su juego de poder; pero cada juego tiene un juego de poder. En particular, el conjunto de $X=\{x\mid x\text{ is a set}\}$, pero, a continuación,$\mathcal P(X)\subseteq X$, por lo que hay una inyección que es una contradicción.

3. El conjunto de todos los embarazos únicos, considere la fórmula $\varphi(x)$ a ser una declaración diciendo que $x=\{y\}$ algunos $y$. Si $X=\{x\mid\varphi(x)\}$ es un conjunto, entonces $\bigcup X$ es un conjunto, y reducimos a la anterior paradoja.

Hay otras paradojas así.

Answer 2

Además de las paradojas mencionadas por Asaf, también existe el infinito de la familia:

$$\begin{align} \varphi(x) & = \lnot\exists y.x\in y \land y\in x\\ \varphi(x) &= \lnot\exists y\exists z.x\in y \land y\in z \land z\in x\\ &\vdots\end{align}$$

Algo diferente es la paradoja de Curry: $$\varphi_Y(x) = (x\in x)\to Y$$Then following the same pattern of reasoning that gives Russell's paradox (that is, let $X = \{x\mid \varphi_Y(x)\}$ and ask if $X\in X$), in this case we can conclude $S$. But since $$ Y fue completamente arbitraria, podemos probar nada en absoluto por este método.