El método de separación de variables podría ser utilizado como se muestra a continuación:
$$\frac{\partial^2 g(x,\xi)}{\partial w \partial \xi}=A g(x,\xi),$$
donde $w=\ln(1/x) \quad\to\quad dw=-\frac{1}{x}dx\quad\to\quad \frac{\partial g}{\partial w}=\frac{\partial g}{\partial x}\frac{dx}{dw}=-x\frac{\partial g}{\partial x}$
$$-x\frac{\partial^2 g(x,\xi)}{\partial x \partial \xi}=Ag(x,\xi),$$
$g=F(x)G(\xi) \quad\to\quad -x\frac{F'}{F}\frac{G'}{G}=A \quad\to\quad \begin{cases} -x\frac{F'}{F}=\lambda \quad\to\quad F=x^{-\lambda} \\ \frac{G'}{G}=\frac{A}{\lambda} \quad\to\quad G=e^{A\xi/\lambda} \end{cases}$
Esto lleva a una familia de soluciones particulares de la PDE : $\quad g_{\lambda}(x,\xi)=C_\lambda e^{A\xi/\lambda}x^{-\lambda}$
La combinación de todas estas soluciones particulares conduce a una forma general de expresar la solución de la PDE:
$$g(x,\xi)=\int\Phi(\lambda) e^{A\xi/\lambda}x^{-\lambda}d\lambda =\int\Phi(\lambda) e^{A\xi/\lambda-\lambda\ln{x}} d\lambda $$
$$g(x,\xi)=\int\Phi(\lambda) e^{\frac{A}{\lambda}\xi+\lambda w} d\lambda $$
con cualquier función de $\Phi$, en la medida de la integral de ser convergente. Esta función $\Phi$ tiene que ser determinado de acuerdo con las condiciones de contorno. En general, que es la parte más difícil del trabajo, dependiendo mucho de cuáles son las condiciones de frontera.
A la pregunta : 1.Por qué no utilizar la separación de variables para este PDE? la respuesta podría ser : Porque esta forma de la función de expresar el PDE, la solución es complicada y no es fácil aproximado de acuerdo al contexto del problema.
Usted escribió : "El libro ofrece una solución única en el límite de $w\xi≫1$ por alguna razón". Por otra parte, las condiciones de frontera no se dan de manera explícita. Todo esto hace difícil obtener un aproximado de la anterior fórmula general. Eso es probablemente por qué un enfoque más sencillo (puede ser para la didáctica de la razón) fue investigado y luego fue presentado en el libro.
