Las probabilidades de adivinar traje de una baraja de cartas, con memoria perfecta

Question

Mientras que la enseñanza de mi hija por qué el dibujo de una escalera interior es casi siempre una mala idea, nos topamos con lo que yo creo que es mucho más difícil problema:

Usted tiene una cubierta de 52 tarjetas estándar con 4 palos y les pido que adivinar el palo de la parte superior de la tarjeta. Las probabilidades de adivinar el palo correcto, obviamente, son de 1 en 4. Luego prueba de nuevo, pero la primera tarjeta no se devuelve a la baraja. Puedes adivinar un traje distinto de la primera dibujado y las probabilidades son 13/51, algo mejor que la de 1 en 4.

Continuando a través de la cubierta de sus probabilidades cambian continuamente (nunca peor que 1 de cada 4, sin duda 100% para la última tarjeta) ¿cuáles son sus posibilidades en general para cualquier dibujar sobre el curso de 52 selecciones?

Este puede ser calculado? O usted necesita para diseñar una estrategia y escribir un programa de computadora para determinar la respuesta? Hacer este tipo de problemas tiene un nombre?

Papá y en mucho menor medida hija, a la espera de vuestras opiniones!

Answer 1

El aproximado de probabilidades de adivinar el traje correctamente es de 35.4%, bastante superior al 25%. Esto es fácil de calcular con el análisis de Monte Carlo, a pesar de que no permiten una respuesta más precisa. Una combinación de primaria de la probabilidad y el MC sería mejor, aunque no he intentado esto.

Yo no puedo pensar inmediatamente en una buena manera de encontrar la exacta racional de la probabilidad, ya que hay muchas maneras para que el número de cada palo a cambiar a lo largo de los sorteos. Tal vez un combinatorialist podría ayudar aquí?

Answer 2

He aquí una útil en la fórmula (que parece muy difícil de poner en forma cerrada). Si ya has dibujado $n$ tarjetas, a continuación, $P(\mathrm{success})$ es

$$ \sum_{\spadesuit+\heartsuit+\diamondsuit+\clubsuit=n;\ 0\leq \spadesuit,\heartsuit,\diamondsuit,\clubsuit\leq13}\frac{13-\min(\spadesuit,\heartsuit,\diamondsuit,\clubsuit)}{52-n}\cdot\frac{\binom{n}{\spadesuit, \heartsuit, \diamondsuit, \clubsuit}\binom{52-n}{13-\spadesuit, 13-\heartsuit, 13-\diamondsuit, 13-\clubsuit}(13!)^4}{52!} $$

(Esta fórmula se utiliza el coeficiente multinomial, que en este caso cuenta el número de formas de elegir los $\spadesuit$ posiciones de picas, $\heartsuit$ de las restantes posiciones de corazones, etc. de la $n$ primeras cartas a dibujar.)

El primer factor es la probabilidad de éxito dada una partición $\spadesuit+\heartsuit+\diamondsuit+\clubsuit=n$ (la partición representa cómo el primer $n$ se distribuyeron tarjetas, sin importar el orden en que entró). El resto es la probabilidad de que la primera $n$ tarjetas de proporcionar esa partición (contando todos los posibles ordenamientos, dividido por el total de posibles ordenamientos de una baraja).

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Añadido posterior:

La suma por encima de las condiciones sobre la partición que representa las cartas que ya han sido elaborados. También podríamos suma sobre las particiones que representan las cartas aún no se dibuja. Que pone la informática más eficiente para la segunda mitad de la cubierta. Si $r$ tarjetas, a continuación, $P(\mathrm{success})$ es

$$ \sum_{\spadesuit+\heartsuit+\diamondsuit+\clubsuit=r;\ 0\leq \spadesuit,\heartsuit,\diamondsuit,\clubsuit\leq13}\frac{\max(\spadesuit,\heartsuit,\diamondsuit,\clubsuit)}{r}\cdot\frac{\binom{r}{\spadesuit, \heartsuit, \diamondsuit, \clubsuit}\binom{52-r}{13-\spadesuit, 13-\heartsuit, 13-\diamondsuit, 13-\clubsuit}(13!)^4}{52!} $$

La evaluación de estas sumas requiere la enumeración de las particiones. Esto se podría hacer con un poco de programación, pero lo hice por $r,n\leq10$ en Excel y encontrado el siguiente $P_n(\mathrm{success})$:

$$ \begin{align} P_0&=0.25 & P_1&\approx0.2549 & P_2&=0.26 & P_3&\approx0.2653 \\ P_4&\approx0.2686 & P_5&\approx0.2710 & P_6&\approx0.2733 & P_7&\approx0.2762 \\ P_8&\approx0.2788 & P_9&\approx0.2809 & P_{10}&\approx0.2830 & &\cdots\\ &\cdots & &\cdots & P_{42}&\approx0.4005 & P_{43}&\approx0.4122 \\ P_{44}&\approx0.4258 & P_{45}&\approx0.4392 & P_{46}&\approx0.4548 & P_{47}&\approx0.4836 \\ P_{48}&\approx0.5201 & P_{49}&\approx0.5514 & P_{50}&\approx0.6176 & P_{51}&=1 \end{align} $$

Answer 3

en general probabilidades para cualquier dibujar sobre el curso de 52 selecciones

Si volvía a repetir su pregunta como "¿cuánto estaría dispuesto a pagar para jugar el juego donde os enseñaré $n$ tarjetas de 52 y si usted adivinar el siguiente restante de la tarjeta, a continuación, te doy un dólar" sería una respuesta a esta pregunta sea el adecuado? Para ser claros, en este juego usted tiene que pagar por adelantado antes de ver las cartas (aunque usted conoce el número de $n$ de antemano), y usted debe estar dispuesto a pagar hasta un cuarto al $n=0$ y hasta un dólar al $n=52-1$. Esto no es realmente una respuesta, sólo quería entender la pregunta.

Como alternativa, le permiten al jugador para ver el $n$ tarjetas (en lugar de sólo el número de $n$) antes de decidir cuánto pagar? O por otro lado que no se puede incluso permitir a $n$ a ser conocido, pero que requieren el jugador para decidir cuánto pagar y, a continuación, $n$ es elegido uniformemente al azar entre 0 y 51 en el comienzo del juego?