Determinar el coeficiente de $xy$ en la expansión de $(x+y+2)^7$

Question

El problema: Determinar el coeficiente de $xy$ en la expansión de $(x+y+2)^7$

Mi planteamiento:

Podemos reescribir la ecuación sustituyendo $x+y =j$

$$(x+y+2)^7=(j+2)^7$$

Es más sencillo, porque sabemos que los coeficientes gracias a la fórmula:

$$(a+b)^{n}=\sum _{{k=0}}^{n}{n \choose k}a^{{n-k}}b^{{k}} $$

Con $n=7$ tenemos $1,7,21,35,35,21,7,1$ y los coeficientes de la expansión se parece a esto:

$$j^7+14\cdot j^6+(21\cdot 2^2) j^5+(35\cdot 2^3) j^4+(35\cdot 2^4) j^3+(21\cdot 2^5) j^2+(7\cdot 26)j+2^7$$

Ahora, el único momento en el que $xy$ aparece es en la expansión de $j^2$ por lo tanto tenemos: $$(21\cdot 2^5) j^2=(21\cdot 2^5) (x+y)^2= (21\cdot 2^5)(x^2+2xy+y^2)=21\cdot 2^5x^2+21\cdot 2^6xy+21\cdot 2^5y^2$$ El coeficiente de es $21\cdot 2^6$

Es esto correcto? Hay una sencilla prueba?

Answer 1

Sí a ambas preguntas.

Podemos escribir:

$$(x+y+2)^7=\sum_{p+q+r=7}\binom7{p,q,r}2^rx^py^q$$

Para obtener $xy$ hacer $p=q=1$, por lo que el coeficiente de $xy$ es:

$$\binom7{5,1,1}2^5=\frac{7!}{5!1!1!}\cdot 2^5=42\cdot 2^5=21\cdot2^6$$

Answer 2

Si usted sabe de derivados, lo que denota $$f(x,y)=(x+y+2)^7=\sum_{i,j=0}^7 c_{ij}x^iy^j$$ entonces usted está buscando para $c_{11}$. Es fácil ver que $$c_{11}=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0,0)=7 \cdot 6 \cdot (0+0+2)^5$$

Intuitivamente: derivating con respecto a $x$, y, a continuación, configuración de $x=0$ elimina todos los términos que contengan cualquier tipo de poder de $x$ además de la primera potencia. Entonces el mismo para $y$,

Answer 3

(x+y+2)(x+y+2)(x+y+2)*(4 veces más). Para obtener xy como un coeficiente usted puede elegir x de cualquier bloque e y de cualquier otro bloque en 7c2 maneras y desde xy puede ser permutada en dos formas de obtener 2*7c2 maneras y para el resto de los que usted debe escoger 2 de cada bloque, con lo que consigue un extra de 2^5 . de modo que el coeficiente es 2* 7c2 *2^5 = 21*2^6.

así que para cualquier caso general (ax+by+cz+dw)^n . Coeficiente de x^r1*y*r2*z^r3*w^r4 . donde r1+r2+r3+r4 = n. puede ser escrito como >>

n!*(a^r1*b^r2*c^r3*d^r4)/(r1!*r2!*r3!*r4!)