¿Cómo podemos saber cuántas ramas de la función inversa de una función primaria tiene ? Por ejemplo la función W de Lambert. ¿Cómo sabemos cuántas sucursales tiene en por ejemplo $z=-0.5$ , $z=0$ , $z=0.5$ o $z=2i$ ?
Respuesta
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Suponga que la función primaria $f$ es completo y tiene una singularidad esencial en a $\infty$ (como en el caso que usted menciona, con $f(z) = z e^z$). Luego de Picard, "gran" teorema dice que $f(z)$ toma en todos los complejos de valor infinitamente a menudo, con una excepción. Por lo tanto para cada $w$ con una excepción, la inversa de la función tendrá una infinidad de ramas en $w$. Determinar si la excepción que existe (y lo es) puede requerir algo de trabajo. En este caso es fácil: $f(z) = 0$ $z=0$ debido a que la función exponencial es nunca $0$, por lo que la excepción es $w=0$.
