¿Cómo probar $\left\lceil\frac{x}y\right\rceil=\left\lfloor\frac{x-1}y\right\rfloor+1$ $x,y$ de enteros positivos?

Question

Tengo que demostrar que

$$\left\lceil\frac{x}y\right\rceil=\left\lfloor\frac{x-1}y\right\rfloor+1\;?$$

Para cualquier enteros positivos $x, y$.

Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Para que esto se cumpla, es necesario especificar que $\boldsymbol{x,y \in \mathbb{Z}}$$\boldsymbol{y > 0}$.

Entonces: si $$ \left\lceil \frac{x}{y} \right\rceil = m $$ entonces $$ m - 1 < \frac{x}{y} \le m $$ lo que significa que $$ mi - y < x \le de mi. $$ que podemos reescribir $$ mi -y \le x - 1 < mi $$ desde $x$ es un número entero y ambos límites son enteros.

Se puede terminar? Usted necesita para llegar a la conclusión de que $$ \left\lfloor \frac{x-1} de{y} \right\rfloor = m - 1. $$

Answer 2

Como @6005 dijo claramente, usted necesita estar de acuerdo en que el $x,y$ son enteros positivos con la restricción $y \gt 0$.

Este es un indicio sobre el lado derecho de la desigualdad:

$$\left\lceil\frac{x}y\right\rceil=\left\lfloor\frac{x-1}y\right\rfloor+1=\left\lfloor\frac{x-1}y+1\right\rfloor=\left\lfloor\frac{x-1+y}y\right\rfloor=\left\lfloor\frac{x}{y} + \frac{y-1}y\right\rfloor=\left\lfloor\frac{x}{y} + 1 - \frac{1}y\right\rfloor$$

Answer 3

Deje $x=py+q$,$0\le q<y$.

Entonces si $q=0$, $$\left\lceil\frac{x}y\right\rceil=p,\left\lfloor\frac{x-1}y\right\rfloor+1=p+\left\lfloor\frac{y-1}y\right\rfloor+1=p.$$ y si $q>0$,

$$\left\lceil\frac{x}y\right\rceil=p+1,\left\lfloor\frac{x-1}y\right\rfloor+1=p+\left\lfloor\frac{q-1}y\right\rfloor+1=p+1.$$