La aguja de las Horas, rota $360^{\circ}$ en 12 horas $=12*60$ minutos
en $t $ minutos gira $\frac{t}{2}^{\circ}$
La manecilla de los Minutos, gira $360^{\circ}$ $1$ h=$60$ minutos
en $t $ minutos gira $6t^{\circ}$
Así, en $t $ minutos, diferencia de ángulos entre las manos es $6t^{\circ}-\frac{t}{2}^{\circ}$ $=\frac{11t}{2}^{\circ}$
Si hacen el ángulo de $\theta$ ( $^{\circ}$ ) entre ellos,
$\frac{11t}{2}^{\circ}=n360^{\circ}+\theta$ donde $n$ es cualquier entero,
o $t=\frac{n720^{\circ}+2\theta}{11}$
Así, el intervalo mínimo de decisiones ángulo de $\theta$ entre ellos es
$$\frac{(m+1)720^{\circ}+2\theta}{11}-\frac{m720^{\circ}+2\theta}{11} minute$$
$=\frac{720}{11} minute$ (Poner $n=m+1$$m$)
Así, en $12$ horas, se hará el ángulo de $\theta$ entre ellos
$$\frac{12 hours}{\frac{720}{11} minutes}$$
$=11$ veces
(1)Para la coincidencia, $\theta=0$
Así, en $12$ horas, que coincidirá $=11$ veces.
(2)Para diametralmente opuesto, $\theta=180^{\circ}$
Así, en $12$ horas, que será diametralmente opuesto $=11$ veces.
(3) Para ser perpendicular, $\theta=±90^{\circ}$
Evidentemente, para que el signo'+', habrá 11 apariciones de la perpendicularidad y, así,' -'.
Así, en $12$ horas, que será perpendicular $11+11=22$ veces.
Observe que para $180^{\circ}$, no consideramos '±' $180^{\circ}\equiv -180^{\circ}{\pmod {360^{\circ}}}$
