¿Cómo decidir la convergencia o no de estas series?

Question

Cómo decidir si los tres siguientes series convergen o divergen?

1. $$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n} $$ Por el límite de la comparación con las series divergentes $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$, podemos decir que esta serie no es absolutamente convergente. Sin embargo, desde $$ \frac{1}{\sqrt{n}+(-1)^n} - \frac{1}{\sqrt{n+1}+(-1)^{n+1}} = \frac{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} + 2 (-1)^{n+1}}{(\sqrt{n}+(-1)^n)(\sqrt{n+1}+(-1)^{n+1})},$$ which is positive if $n$ is odd but negative if $$ n es par. Por tanto, no podemos aplicar la Leibnitz de la regla.

2. $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\log ( e^n + e^{-n} ) } $$ Por el Leibnitz de la norma podemos concluir que la correspondiente alterna de la serie converge (condicional).

3. $$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \int_{n}^{n+1} \frac{e^{-x}}{x} \ dx $$ The integral here satisfies the inequalities $$ \frac{e^{-n}-e^{-n-1}}{n+1} \leq \int_{n}^{n+1} \frac{e^{-x}}{x} \ dx \leq \frac{e^{-n}-e^{-n-1}}{n}, $$ and both the upper and lower bounds approach $0$ as $n$ increases without bound. So we can't apply the $$n-ésimo término de la prueba de la divergencia.

Answer 1

La primera suma es divergente:

Deje $a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n}$. Considere la posibilidad de $a_n + a_{n+1}$ incluso para valores de $n$. Tenemos $$ a_n + a_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{n} + 1} - \frac{1}{\sqrt{n+1} - 1} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n} - 2}{(\sqrt{n} + 1)(\sqrt{n+1} - 1)} $$ El numerador es menor que el $-1$ todos los $n \geq 2$. El denominador es mayor que $n/2$ todos los $n \geq 2$. Por lo tanto, $a_n + a_{n+1} \leq -\frac{2}{n}$ para todos incluso a $n \geq 2$. Por lo tanto, $$ \sum_{n=2}^\infty a_n = - \infty $$

El segundo es divergente: $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\log(e^n + e^{-n})} \geq \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\log(e \cdot e^n)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1 + n} \geq \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n} = \infty. $$

La tercera es absolutamente convergente: $$ \sum_{n=1}^\infty \left| (-1)^n \int_{n}^{n+1} \frac{e^{-x}}{x} \right| \leq \sum_{n=1}^\infty e^{-n} < \infty $$

Answer 2

Para el primer problema, sumar los términos de $2$$3$, en términos de $4$$5$, y así sucesivamente. Si $n$ es incluso, la suma de los $n$-th y $(n+1)$-th términos ia $$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}-2}{(\sqrt{n}+1)(\sqrt{n+1}-1)}.$$ Esto puede escribirse como $$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n}+1)(\sqrt{n+1}-1)}-\frac{2}{(\sqrt{n}+1)(\sqrt{n+1}-1)}.\tag{1}$$

La suma de las primeras partes de (1) converge. Para mostrar esto, racionalizar el numerador.

La suma de las segundas partes de los (1) diverge, esencialmente por comparación con la serie armónica. Así que la original de la serie diverge.

Nota: Si usted necesita para ser más formal, tenga en cuenta la suma de$n=2$$n=2m+1$. La suma de las primeras partes de (1) es acotado, y la suma de las segundas partes no lo es. De modo que las sumas parciales no convergen.