Si $\alpha$ y $\beta$ son las raíces de $x^2-2x+4=0$ entonces el valor de $\alpha^6+\beta^6$ es

Question

<blockquote> <p>Si $\alpha$ y $\beta$ son las raíces de $x^2-2x+4=0$ entonces el valor de $\alpha^6+\beta^6$ es</p> </blockquote> <p>Sé que, aquí, $\alpha\beta=4$ y $\alpha + \beta = 2$ y el uso que encontrar $\alpha^2 + \beta^2$ mediante la expansión de $(a+b)^2$ pero ¿cómo encontrar $\alpha^6+\beta^6$?</p>

Answer 1

Tenemos $\alpha^2-2\alpha+4=0$ obtenemos para $n\geq 0$ $\alpha^{n+2}-2\alpha^{n+1}+4\alpha^n=0$, y tenemos la misma relación $\beta$. Poner $un=\alpha^n+\beta^n$ y añadiendo, conseguimos que $u{n+2}-2u_{n+1}+4u_n=0$ % todos $n$. Tenemos $u_0=2$, $u_1=2$, y ahora es fácil de calcular $u_6$.

Answer 2

Sugerencia: Aquí $\alpha^2=2\alpha -4$ y $\beta$, como son las raíces de la ecuación de $x^2-2x+4=0$.

Calcular el valor de ${\alpha}^6$ y ${\beta}^6$ $\alpha^2 and \beta^2$. Luego sustituir su valor otra vez.

Answer 3

Use this one

Answer 4

Bueno, en general:

$$\text{a}\cdot x^2+\text{b}\cdot x+\text{c}=0\space\Longleftrightarrow\space x=\frac{-\text{b}\pm\sqrt{\text{b}^2-4\cdot\text{a}\cdot\text{c}}}{2\cdot\text{a}}\tag1$$

Así, por ejemplo podemos establecer:

• $$\alpha=x_+=\frac{-\text{b}+\sqrt{\text{b}^2-4\cdot\text{a}\cdot\text{c}}}{2\cdot\text{a}}\tag2$$
• $$\beta=x_-=\frac{-\text{b}-\sqrt{\text{b}^2-4\cdot\text{a}\cdot\text{c}}}{2\cdot\text{a}}\tag3$$

Ahora, para tu problema:

$$\alpha^6+\beta^6=\left(\frac{-\text{b}+\sqrt{\text{b}^2-4\cdot\text{a}\cdot\text{c}}}{2\cdot\text{a}}\right)^6+\left(\frac{-\text{b}-\sqrt{\text{b}^2-4\cdot\text{a}\cdot\text{c}}}{2\cdot\text{a}}\right)^6=$$ $$\frac{\left(-\text{b}+\sqrt{\text{b}^2-4\cdot\text{a}\cdot\text{c}}\right)^6+\left(\text{b}+\sqrt{\text{b}^2-4\cdot\text{a}\cdot\text{c}}\right)^6}{64\cdot\text{a}^6}\tag4$$